Landfläche
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Landfläche zu Beginn des Jahres 2150
Für das Jahr 2150 gilt \(a=150\).
\( \quad \displaystyle{\int}_0^8 f_{150}(x) dx \; = \; \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05 \cdot 150 \cdot x} + 1\right) dx \; = \; \frac{364}{45}\; = \; 8\frac{4}{45} \)
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Die Funktion \(f_a\) lässt sich auch mit der Funktionsvorschrift
\( \quad f_a(x) \; = \; \frac{5x}{e^{0{,}05a \cdot x}} + 1 \)
\(\\\) ausdrücken.
\(\\\) Es ist also leicht zu erkennen, dass je größer \(a\) wird, desto kleiner werden die Funktionswerte \(f_a(x)\). Das bedeutet auch, dass die Fläche unter dem Graphen mit zunehmenden \(a\) immer kleiner wird.
Da nun alle Funktionen \(f_a\) einen Hochpunkt besitzen, kann die Funktion \(f_a\) nie eine waagerechte Linie werden und die Fläche unter dem Graphen nie zu dem eingezeichneten braunen Rechteck werden, dass die Flächengröße
\( \quad A \, = \; 800 \, m \cdot 100 \, m \; = \; 80000 \, m^2 \; = \; 8 \, ha \)
\(\\\) besitzt.
\(\\\) Rechnerisch können wir dies noch belegen, obwohl die obige Argumentation schon ausreichend ist, indem wir \(a\) gegen Unendlich laufen lassen.
\( \quad \displaystyle{\int}_0^8 \lim\limits_{a \rightarrow \infty} f_a(x) dx \; = \; \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \rightarrow \infty}\left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \)
\(\\\)
Analog zu Aufgabe 4 der Küstenlinie (Stammfunktion) gilt mit der partiellen Integration
\( \quad \begin{array}{ l } \displaystyle{\int}_a^b uv' \; = \; \Big[u\cdot v\Big]_a^b - \displaystyle{\int}_a^b u'v \\[8pt] \begin{array}{ l l l } & u \; = \; 5x & \quad u' \; = \; 5 \\[8pt] & v \; = \; - \frac{20}{a} e^{-0{,}05ax} & \quad v' \; = \; e^{-0{,}05ax} \\[8pt] \end{array} \\[20pt] \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \rightarrow \infty} \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \\[8pt] = \; \Big[\lim \limits_{a \rightarrow \infty} 5x \cdot \left(- \frac{20}{a} e^{-0{,}05ax}\right)\Big]_0^8 \; - \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \rightarrow \infty} 5 \left(- \frac{20}{a} \cdot e^{-0{,}05ax}\right) dx + \Big[ x \Big]_0^8 \\[8pt] = \; \Big[\lim \limits_{a \rightarrow \infty} \frac{5x \cdot(-20)}{a \cdot e^{0{,}05ax}}\Big]_0^8\; - \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \rightarrow \infty} \frac{5 \cdot (-20)}{a \cdot e^{0{,}05ax}} dx + \Big[x\Big]_0^8 \\[8pt] = \; \Big[\lim \limits_{a \rightarrow \infty} \frac{-100x}{a \cdot e^{0{,}05ax}}\Big]_0^8\; - \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \rightarrow \infty} \frac{-100}{a \cdot e^{0{,}05ax}} dx + \Big[ x \Big]_0^8 \\ \end{array} \)
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Es gilt für alle \(z\), dass
\( \quad \lim \limits_{z \to \infty}\frac{1}{z} \; = \; 0 \)
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ist. Damit wird der Bruch im Integral und in der Stammfunktion zu Null. Es bleibt nur
\( \quad \displaystyle{\int}_0^8 \lim \limits_{a \to \infty} \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \; = \; \Big[x\Big]_0^8 \; = \; 8 - 0 \; = \; 8 \)
\(\\\)
Würde \(a\) unendlich groß werden, also die Anzahl der vergangenen Jahre unendlich groß werden, so würde die Fläche gegen 8 Hektar laufen. Da unendlich viele Jahre aber außerhalb unserer Vorstellung liegen, können wir davon ausgehen, dass die Fläche stets größer als 8 Hektar bleibt.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Gleichung
\( \quad \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \)
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drückt die Landfläche zwischen der Küstenlinie und der Straße im Intervall \([0 ; 8]\) nach a Jahren seit dem Jahre \(2000\) aus.
\( \quad \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{- x} + 1\right) dx \; = \; \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05 \cdot 20 \cdot x} + 1\right) dx \)
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drückt die Landfläche zwischen der Küstenlinie und der Straße im Intervall \([0 ; 8]\) nach \(20\) Jahren seit dem Jahre \(2000\) , also die Landfläche zu Beginn von \(2020\) , aus.
In der Gleichung
\( \quad \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \; = \; 0{,}8 \; \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{- x} + 1\right) dx \)
\(\\\)
beschreibt \(a\) die Anzahl an Jahren, die seit Beginn \(2000\) vergangen sind, zu der nur noch \(80\%\) der Landfläche zwischen der Küstenlinie und der Straße im Intervall \([0 ; 8]\) von dem Jahr \(2020\) vorhanden sind.
Wie viel Jahre sind das nun?
Das wird hier nicht ausdrücklich erfragt, dennoch möchte ich das hier für Interessierte (mich eingeschlossen) ergründen. Nichtinteressierte können die Aufgabe hier als abgeschlossen ansehen.
Bei dem Ausdruck
\( \quad \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \)
muss die Variable \(x\) entfernt werden, damit \(a\) berechnet werden kann. Dies können wir erreichen, indem wir die Stammfunktion bilden und die Grenzen dort einsetzen.
In Anlehnung an den ersten beiden Zeilen der obigen Rechnung zur partiellen Integration gilt
\( \quad \begin{array}{ l } \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{-0{,}05a \cdot x} + 1\right) dx \\[8pt] \; = \; \Big[5x \cdot \left(- \frac{20}{a} e^{-0{,}05ax}\right)\Big]_0^8 \; - \displaystyle{\int}_0^8 5 \left(- \frac{20}{a} \cdot e^{-0{,}05ax}\right) dx + \Big[x\Big]_0^8 \\[8pt] \; = \; \Big[-\frac{100 \cdot x}{a} e^{-0{,}05ax}\Big]_0^8 \; - \Big[\left(5 \cdot \left(-\frac{20}{a}\right) \cdot \left(-\frac{20}{a}\right) \cdot e^{-0{,}05ax}\right)\Big]_0^8 + \Big[x\Big]_0^8 \\[8pt] \; = \; \Big[-\frac{100 \cdot x}{a} e^{-0{,}05ax}\Big]_0^8 \; - \Big[\left(\frac{2000}{a^2}\cdot e^{-0{,}05ax}\right)\Big]_0^8 + \Big[x\Big]_0^8 \\[8pt] \; = \; \Big[-\frac{100 \cdot x}{a} e^{-0{,}05ax}-\frac{2000}{a^2}\cdot e^{-0{,}05ax}\Big]_0^8 + 8 - 0 \\[8pt] \; = \; \Big[\left(-\frac{100 \cdot x}{a}-\frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^{-0{,}05ax}\Big]_0^8 + 8 \\[8pt] \; = \; \left(-\frac{100 \cdot 8}{a} - \frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^{-0{,}05 \cdot 8 \cdot a}- \left( - \frac{100 \cdot 0}{a} - \frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^{-0{,}05 \cdot 0 \cdot a} + 8 \\[8pt] \; = \; \left( - \frac{800}{a} - \frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^{-0{,}4 a} - \left( - \frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^0 + 8 \\[8pt] \; = \; \left( - \frac{800}{a} - \frac{2000}{a^2}\right) \cdot e^{-0{,}4 a} + \frac{2000}{a^2} + 8 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Es gilt nun
\( \quad \displaystyle{\int}_0^8 \left(5x \cdot e^{- x} + 1\right) dx \; = \; 12{,}98490418 \)
\(\\\)
Wir berechnen nun in der Gleichung das \(a\) mit dem SOLVE-Befehl , wobei wir für \(a\) die Variable \(x\) einsetzen. Wir geben
\( \quad \left( - \frac{800}{x} - \frac{2000}{x^2}\right) \cdot e^{-0{,}4 x} + \frac{2000}{x^2} + 8 \; \color{#CC0000}{=} \; 0{,}8 \cdot 12{,}98490418 \)
\(\\\)
ein und drücken \(\boxed{\color{#C19A6B}{SHIFT}}\) \(\boxed{CALC}\)
\(\\\)
Wir bestätigen mit \(\boxed{=}\)
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Wir erhalten den Wert \(a=28{,}94\). Nach mehrmaligen Berechnungen wichen die Werte etwas voneinander ab. Auf 2 Kommastellen genau stimmten sie aber überein. Es ist zu bedenken, dass der SOLVE-Befehl stets einen Näherungswert angibt.
Das heißt, dass im Jahr \(2029\) nur noch \(80\%\) der Landfläche des Jahres \(2020\) vorhanden sind.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – reelle Zahlen = Null
\( \quad \begin{array}{ r c l l } f_a(x) & < & f(x) \\[6pt] 5x \cdot e^{-0{,}05ax} + 1 & < & 5x \cdot e^{- x} + 1 & | \; - 1 \\[6pt] 5x \cdot e^{-0{,}05ax} & < & 5x \cdot e^{- x} \\ \end{array} \)
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Da \(x \not= 0\) ist, ist die Division mit \(x\) erlaubt. Ferner ist \(x\) stets positiv. Das heißt, dass der Vergleichsoperator sich bei einer Division mit \(x\) nicht ändert.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 5x \cdot e^{-0{,}05ax} & < & 5x \cdot e^{- x} & | \; : (5x) \\[6pt] e^{-0{,}05ax} & < & e^{- x} & | \; ln \\[6pt] -0{,}05ax & < & - x \\ \end{array} \)
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Bei der Division mit einer negativen Zahl dreht sich der Vergleichsoperator um.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } -0{,}05ax & < & - x & | \; : (-0{,}05x) \\[6pt] a & > & 20 \\ \end{array} \)
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