Abbildung

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\(\\\)

Aufgabe 1 – Stellen auf den Achsen

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 – Rechteck

Ein Rechteck ist ein rechtwinkliges Parallelogramm. Bei einem Parallelogramm sind 2 gegenüberliegende Seiten parallel zueinander und gleich lang. Das heißt, dass die Verbindungsvektoren der jeweiligen Eckpunkte auch gleich sein müssen.

\( \quad \left. \begin{array}{ c*{7}{c} } \vec{OP} & = & \vec{p} - \vec{o} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\frac{25}{2} \\ \; 0 \\ \; 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\frac{25}{2} \\ \; 0 \\ \; 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \\ \vec{RQ} & = & \vec{q} - \vec{r} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\frac{25}{2} \\ -12 \\ \; \; 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \; \; 0 \\ -12 \\ \; \; 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\frac{25}{2} \\ \; 0 \\ \; 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \; \right\} \; \textrm{gleich} \)

\(\\\)

\( \quad \left. \begin{array}{ c*{7}{c} } \vec{OR} & = & \vec{r} - \vec{o} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \; \; 0 \\ -12 \\ \; \; 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \; \; 0 \\ -12 \\ \; \; 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \\ \vec{PQ} & = & \vec{q} - \vec{p} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\frac{25}{2} \\ -12 \\ \; \; 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\frac{25}{2} \\ \; 0 \\ \; 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \; \; 0 \\ -12 \\ \; \; 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \; \right\} \; \textrm{gleich} \)

\(\\\)

Das Viereck \({OPQR}\) erfüllt die Bedingungen für ein Parallelogramm. Nun sind noch die rechten Winkel zu überprüfen.

\( \quad \vec{OP} \circ \vec{OR} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\frac{25}{2} \\ \; 0 \\ \; 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \; \; 0 \\ -12 \\ \; \; 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = -\frac{25}{2} \cdot 0 + 0 \cdot (-12) + 0 \cdot 9 \; = \; 0 \\ \)

\(\\\)

Damit sind die Vektoren \(\vec{OP}\) und \(\vec{OR}\) orthogonal zueinander und es liegt ein rechter Winkel in \(\alpha\) vor.

\(\\\)

Bei einem Parallelogramm sind die gegenüber liegenden Winkel gleich groß. Damit ist \(\alpha=\gamma=90^{\circ}\). Im Viereck ist die Winkelsumme \(360^{\circ}\). Die verbleibenden \(180^{\circ}\) teilen sich gleichmäßig auf die Winkel \(\beta\) und \(\delta\) auf. Damit gilt \(\alpha=\beta=\gamma=\delta=90^{\circ}\). Es liegt also ein Rechteck vor.

\(\\\)

Im Rechteck wir die Fläche berechnet mit

\( \quad \begin{array}{ r c l } A & = & \bigl|\vec{OP} \cdot \vec{OR}\bigl| \\[8pt] & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\frac{25}{2} \\ \; 0 \\ \; 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \; \; 0 \\ -12 \\ \; \; 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] & = & \sqrt{\left(-\frac{25}{2}\right)^2 + 0^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + (-12)^2 + 9^2} \\[8pt] & = & \frac{25}{2} \cdot 15 \\[8pt] & = & 187{,}5 \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 – Gerade h

\( \quad \begin{array}{ r c l l l } h: \; \vec{x} & = & \vec{p} + t \cdot \vec{PR} & & \\[8pt] & = & \vec{p} + t \cdot \left(\vec{r} - \vec{p}\right) & & \\[8pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\frac{25}{2} \\ \; 0 \\ \; 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + t \cdot \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \; \; 0 \\ -12 \\ \; \; 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\frac{25}{2} \\ \; 0 \\ \; 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \\[8pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} -\frac{25}{2} \\ \; 0 \\ \; 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \; \; \frac{25}{2} \\ -12 \\ \; \; 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 4 – Spiegelung des Punktes O

1. Der Punkt \(O'\) ist der Spiegelpunkt von \(O\) und wird dabei um den Punkt \(S\) gespiegelt, der auf der Geraden \(h\) liegt. Wir ermitteln diesen Punkt \(S\).

   • Zunächst wird eine Ebene \(N\), die orthogonal zur Geraden \(h\) liegt, in der Normalenform \(\\[0.5em]\)
     \( \quad \left( \vec{x} - \vec{p}\right) \circ \vec{n} = 0 \) \(\\\)
     aufgestellt. Der Normalenvektor \(\vec{n}\) wird dabei durch den Richtungsvektor \(\vec{PR}\) der Geraden \(h\) gebildet und als Punkt nehmen wir den Punkt \(O\).
   • Wir ermitteln nun den Schnittpunkt \(S\) der Geraden \(h\) und der Ebene \(N\).

2. Der Punkt \(O'\) wird berechnet, indem wir uns von dem Punkt \(O\) aus um das zweifache des Vektors \(\vec{OS}\) weiter bewegen. \(\\[0.5em]\)
   \( \quad \vec{o'} \; = \; \vec{o} + 2 \cdot \vec{OS} \)

\(\\\)