Funktion h
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Koordinaten von W
Für den Wendepunkt gilt
\( \quad h''(t) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad h'''(t) \not= 0 \)
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Wir definieren \(h(t)\).
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Für die 2. Ableitung nutzen wir dieses Werkzeug
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und definieren die 2. Ableitung.
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Wir lösen die Gleichung.
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Wir definieren die 3. Ableitung.
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Überprüfung des Ergebnisses:
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\(h'''\big(10 \cdot ln(99) \big) \not=0\). Damit ist ein Wendepunkt bei \(t=10 \cdot ln(99)\) vorhanden. Wir bestimmen nun noch den \(y\)-Wert.
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Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W\big((10 \; ln(99) | 25\big)\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – maximale Wachstumsgeschwindigkeit
Die Funktion der Wachstumsgeschwindigkeit ist die Ableitungsfunktion von \(h\) und ist hier mit den \(y\)-Werten um das 50-fache vergrößert dargestellt. Das heißt, dass der \(t\)-Wert des Maximums der Wachstumsgeschwindigkeit der gleiche ist wie der \(t\)-Wert des Wendepunktes von \(h\). Also ist \(t=10 \cdot ln(99)\).
Die Wachstumsgeschwindigkeit an dieser Stelle berechnen wir mit der 1. Ableitung von \(h\).
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Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit liegt bei \(125 \; \frac{cm}{a}\), also \(25 \; \frac{cm}{a}\) weniger als bei den von den Forstbeamten beobachteten Ausnahmen.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Tangente im Punkt W
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Die Tangente ist allgemein beschrieben durch
\( \quad y(t) \; = \; m \cdot t + b \)
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Mit \(m = \frac{5}{4}\) und dem Punkt \(W\big((10 \; ln(99) | 25\big)\) erhalten wir \(b\).
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Das ergibt die Tangentengleichung
\( \quad y(t) \; = \; \frac{5}{4}t + 25-\frac{25 \cdot ln(99)}{2} \)
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mit der Definition
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Die Abweichung der Tangentenwerte von den Werten der Funktion \(h\) nennen wir \(a\) mit der Definition
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Da die Funktion \(h\) streng monoton steigend ist muss das Maximum von \(a\) an den Rändern des Intervalls \([40;50]\) liegen.
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Die maximale Abweichung liegt also bei \(t=40\). Wir berechnen die prozentuale maximale Abweichung zur Beschreibung durch die Tangente mit
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Die maximale Abweichung beträgt \(1{,}2\%\).
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