HMF 1 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Punkt D
In einem Parallelogramm sind jeweils 2 Seiten parallel zueinander.
\(\quad\)
Das heißt, dass Vektor
\( \quad \vec{AD} = \vec{BC} \)
\(\\\) ist. Wir erhalten für den Ortsvektor von \(D\) also
\( \quad \begin{array}{ r c l } \vec{OD} & = & \vec{OA} + \vec{AD} \\[5pt] \vec{OD} & = & \vec{OA} + \vec{BC} \\[5pt] \vec{OD} & = & \vec{OA} + \vec{OC} - \vec{OB} \\[8pt] \vec{OD} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] \vec{OD} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] & \Rightarrow & \displaystyle{D(-2|1|3)} \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – rechter Winkel
Damit ein rechter Winkel in Punkt \(B\) vorliegt, müssen die Vektoren \(\vec{BA}\) und \(\vec{BC}\) orthogonal zueinander sein. Wir überprüfen das mit dem Skalarprodukt:
\( \quad \begin{array}{ r c l } \vec{BA} \circ \vec{BC} & = & \left(\vec{a} - \vec{b} \right) \circ \left(\vec{c} - \vec{b} \right) \\[6pt] & = & \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \\[6pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] & = & -2 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 0 \Rightarrow orthogonal \\ \end{array} \)
\(\\\)
Es liegt also ein rechter Winkel im Punkt \(B\) vor.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Quadrat
Wir überprüfen die Längen der Vektoren \(\vec{BA}\) und \(\vec{BC}\) .
\(\\\)
\( \quad \left. \begin{array}{ r*{7}{c}} \bigl| \vec{BA}\bigl| & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ -2 \\ -2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} & = & \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} & = & \sqrt{12} \\[6pt] \bigl| \vec{BC} \bigl| & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} & = & \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2} & = & \sqrt{6} \\ \end{array} \; \right\} \; \textit{ungleich} \)
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Das Viereck \(ABCD\) hat 2 verschieden lange Seiten und kann damit kein Quadrat sein.
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