Aufgaben

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“Streckenzug”

Im Koordinatensystem ist der Streckenzug abgebildet, der aus den Strecken \(\overline{AB}\), \(\overline{BC}\) und \(\overline{CD}\) besteht mit

\( \quad A(11|11|0)\), \(B(-11|11|28)\), \(C(11|-11|28)\) und \(D(-11|-11|0) \).

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Die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) sind Eckpunkte eines Quaders, der gestrichelt dargestellt ist.

\(\qquad \quad\) Arbeitsblatt ausdrucken

\(\\[1em]\)

Abbildung

1. Zeichnen Sie den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{AB}\) in die obige Abbildung und geben Sie seine Koordinaten an.

   (2 P)

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2. Prüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt \(N(-9|-11|3)\) auf der Strecke\(\overline{CD}\) liegt.

   (5 P)

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3. Berechnen Sie die Länge des abgebildeten Streckenzuges.

   (3 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Ebene E

Die Ebene \(E\) enthält die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\).

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1. Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.

   \( \qquad \big[\textrm{Kontrolle:} \quad 14 x_1 + 14 x_2 + 11 x_3 = 308 \big] \)

   (4 P)

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2. Der Abstand des Punktes \(D\) von der Ebene \(E\) wird mit \(d\) bezeichnet.

   • Berechnen Sie den Wert von \(d\).

   • Begründen Sie, dass der Term \(\frac{d}{6} \cdot \bigl|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}\bigl|\) das Volumen der Pyramide \(ABCD\) angibt.

     (6 P)

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3. Berechnen Sie die Größe des Winkels \(\varphi\), unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet.

   (4 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Reelle Zahl h

Für jede reelle Zahl \(h\) wird der Punkt \(P_h(0|0|h)\) betrachtet.

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1. Beschreiben Sie die Lage des Punktes \(P_h\) für \(0<h<28\).

   (2 P)

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2. Bestimmen Sie die beiden Werte von \(h\), so dass ein Dreieck \(BP_hC\) mit rechtem Winkel bei \(P_h\) vorliegt, und geben Sie alle Werte von \(h\) an, für die sich ein stumpfwinkliges Dreieck \(BP_hC\) ergibt.

   (6 P)

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3. Im Folgenden liegt der Punkt \(P_h\) innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken \(\overline{AB}\), \(\overline{BC}\) und \(\overline{CD}\) den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von \(h\):

\( \qquad \begin{array}{ r l } \textrm{I.} & \overrightarrow{OQ} \; = \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 11 \\ 11 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -22 \\ 0 \\ 28 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \; , \; t \in [0;1] \\[8pt] \textrm{II.} & \overrightarrow{P_hQ} \circ \overrightarrow{AB} \; = \; 0 \\[8pt] \textrm{III.} & \bigl| \overrightarrow{P_hQ}\bigl| \; = \; 28 - h \\ \end{array} \)

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Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von \(h\) zugrunde liegen.

(4 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Blickrichtungen

Der Streckenzug wird schließlich zur Modellierung des abgebildeten Gebäudes verwendet.

Das Gebäude wird mit verschiedene Blickrichtungen betrachtet.

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1. Die folgende Abbildungen stellen das Gebäude für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt.

(2 P)

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2. Stellen Sie das Gebäude schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

   (2 P)

Lösung

\(\\[2em]\)