Höhenwachstum w


\(\\\)

Aufgabe 1 größtes Wachstum

Für die maximale Wachstumsrate gilt

\( \quad w'(t) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad w''(t) \; \not= \; 0 \)

\(\\\)

Wir definieren zunächst \(w(t)\) :

my image

\(\\\)

Weiter brauchen wir die 1. Ableitung. Wir wählen das Ableitungswerkzeug

my image

\(\\\)

mit der \(\color{#CC0000}{rot}\) markierten Taste

my image

\(\\\)

Wir definieren die 1. Ableitung wie folgt.

my image

\(\\\)

Zum Lösen der Gleichung benötigen wir den solve-Befehl, den wir im Menu finden.

my image

my image

\(\\\)

Wir definieren entsprechend der 1. Ableitung die 2. Ableitung

my image

\(\\\)

und setzen den berechneten \(t\)-Wert dort ein.

my image

\( \quad w''(40) \; = \; -\frac{1}{25} \; < \; 0 \quad \textrm{maximale Wachstumsrate} \)

\(\\\)

Für den Zeitraum, zu der die Fichten mehr als 50 \(\frac{cm}{a}\) wachsen, rechnen wir

my image

\(\\\)

Im Alter von \(16{,}6127\) bis \(63{,}3873\) Jahren wachsen die Fichten mehr als \(50\) Zentimeter pro Jahr.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 sich wiederholende Wachstumsrate

my image

\(\\\)

Wir berechnen dieses folgendermaßen:

my image

\(\\\)

Der 1. Zeitpunkt ist nach \(25\) Jahre der Pflanzung und der 2. Zeitpunkt ist \(30\) Jahre später, also \(55\) Jahre nach der Pflanzung.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Term

Das Integral

\( \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \)

\(\\\)

gibt den aufsummierten Höhenzuwachs in Zentimetern in den ersten \(60\) Jahren an. Das heißt, dass

\( \frac{1}{100} \cdot \left( 50 + \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \right) \; = \; 0{,}5 + \frac{1}{100} \cdot \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \)

\(\\\)

die Höhe einer Fichte \(60\) Jahre nach Pflanzung in Metern angibt, wenn sie mit einer Anfangshöhe von \(0{,}5\) Metern ausgepflanzt wurde.

Mit der Graph-Funktion lässt sich die Stammfunktion nun nicht darstellen, denn das Integral wird mithilfe der sogenannten Gaußschen Fehlerfunktion (error function ⭢ erf(x) ) ermittelt. Diese Funktion ist nicht im eigentlichen Sinne eine geschlossene Funktion (stetige Funktion), sondern muss näherungsweise durch eine Reihenentwicklung bestimmt werden.

\(\\\)

Wie lässt sich der Funktionsterm nun trotzdem zeichnen?

Mithilfe der Funktion \(\boxed{SchnellGraph}\) im Tabellenbereich \(\boxed{Lists \; \& \; Spreadsheet}\) können wir einen Funktionsgraphen über mehrere Punkte simulieren. Wir bestimmen zunächst die Termwerte für die \(t\)-Werte. Hier ist das Ganze in 10-er Schritten. Das geht einfach, wenn man den Term immer wieder kopiert und einfügt. Dann braucht nur noch die obere Grenze des Integrals geändert werden.

my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image
my image

\(\\\)

Wir öffnen nun den Tabellenbereich. Die Spalten brauchen Namen, z. B. \(\boxed{alter}\) und \(\boxed{hoehe}\), die wir ganz oben eintragen. Wir füllen die Tabelle mit den Werten aus.

my image

\(\\\)

Wir markieren die 1. Spalte indem wir auf das Feld \(\boxed{alter}\) gehen und auf Pfeil oben

my image

tippen.

Mit \(\boxed{shift}\) und Pfeil rechts fügen wir die 2. Spalte zu der Markierung hinzu.

my image

\(\\\)

Wir verwenden nun die Funktion \(\boxed{SchnellGraph}\) über das \(\boxed{menu}\).

my image

my image

\(\\\)

Wir verbinden die Punkte über das \(\boxed{menu}\) folgendermaßen:

my image

my image

my image

\(\\\)

Auf die volle Breite ausgedehnt sieht der Graph so aus.

my image

\(\\\)

Bei \(t=40\) ist bei \(w(t)\) ein Maximum. Das heißt, das dieser Graph dort einen Wendepunkt hat. Wir können diesen Graphen nun mit den berechneten Werten ins Heft übertragen.

\(\\\)