Höhenwachstum w
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – größtes Wachstum
Für die maximale Wachstumsrate gilt
\( \quad w'(t) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad w''(t) \; \not= \; 0 \)
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Wir definieren zunächst \(w(t)\) :
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Weiter brauchen wir die 1. Ableitung. Wir wählen das Ableitungswerkzeug
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mit der \(\color{#CC0000}{rot}\) markierten Taste
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Wir definieren die 1. Ableitung wie folgt.
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Zum Lösen der Gleichung benötigen wir den solve-Befehl, den wir im Menu finden.
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Wir definieren entsprechend der 1. Ableitung die 2. Ableitung
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und setzen den berechneten \(t\)-Wert dort ein.
\( \quad w''(40) \; = \; -\frac{1}{25} \; < \; 0 \quad \textrm{maximale Wachstumsrate} \)
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Für den Zeitraum, zu der die Fichten mehr als 50 \(\frac{cm}{a}\) wachsen, rechnen wir
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Im Alter von \(16{,}6127\) bis \(63{,}3873\) Jahren wachsen die Fichten mehr als \(50\) Zentimeter pro Jahr.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – sich wiederholende Wachstumsrate
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Wir berechnen dieses folgendermaßen:
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Der 1. Zeitpunkt ist nach \(25\) Jahre der Pflanzung und der 2. Zeitpunkt ist \(30\) Jahre später, also \(55\) Jahre nach der Pflanzung.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Term
Das Integral
\( \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \)
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gibt den aufsummierten Höhenzuwachs in Zentimetern in den ersten \(60\) Jahren an. Das heißt, dass
\( \frac{1}{100} \cdot \left( 50 + \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \right) \; = \; 0{,}5 + \frac{1}{100} \cdot \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \)
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die Höhe einer Fichte \(60\) Jahre nach Pflanzung in Metern angibt, wenn sie mit einer Anfangshöhe von \(0{,}5\) Metern ausgepflanzt wurde.
Mit der Graph-Funktion lässt sich die Stammfunktion nun nicht darstellen, denn das Integral wird mithilfe der sogenannten Gaußschen Fehlerfunktion (error function ⭢ erf(x) ) ermittelt. Diese Funktion ist nicht im eigentlichen Sinne eine geschlossene Funktion (stetige Funktion), sondern muss näherungsweise durch eine Reihenentwicklung bestimmt werden.
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Wie lässt sich der Funktionsterm nun trotzdem zeichnen?
Mithilfe der Funktion \(\boxed{SchnellGraph}\) im Tabellenbereich \(\boxed{Lists \; \& \; Spreadsheet}\) können wir einen Funktionsgraphen über mehrere Punkte simulieren. Wir bestimmen zunächst die Termwerte für die \(t\)-Werte. Hier ist das Ganze in 10-er Schritten. Das geht einfach, wenn man den Term immer wieder kopiert und einfügt. Dann braucht nur noch die obere Grenze des Integrals geändert werden.
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Wir öffnen nun den Tabellenbereich. Die Spalten brauchen Namen, z. B. \(\boxed{alter}\) und \(\boxed{hoehe}\), die wir ganz oben eintragen. Wir füllen die Tabelle mit den Werten aus.
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Wir markieren die 1. Spalte indem wir auf das Feld \(\boxed{alter}\) gehen und auf Pfeil oben
tippen.
Mit \(\boxed{shift}\) und Pfeil rechts fügen wir die 2. Spalte zu der Markierung hinzu.
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Wir verwenden nun die Funktion \(\boxed{SchnellGraph}\) über das \(\boxed{menu}\).
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Wir verbinden die Punkte über das \(\boxed{menu}\) folgendermaßen:
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Auf die volle Breite ausgedehnt sieht der Graph so aus.
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Bei \(t=40\) ist bei \(w(t)\) ein Maximum. Das heißt, das dieser Graph dort einen Wendepunkt hat. Wir können diesen Graphen nun mit den berechneten Werten ins Heft übertragen.
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