Aufgaben

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\(\\\)

“Fitnessarmband”

Alle in Ihren Lösungen verwendeten Zufallsgrößen müssen explizit eingeführt werden. Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsgrößen.

\(\\[1em]\)

Datenschutzbedenken

Unter den Versicherten eines Krankenversicherungsunternehmens haben \(59\%\) Datenschutzbedenken \((D)\). Einige der Versicherten nutzen ein Fitnessarmband \((F)\). Von den Versicherten mit Datenschutzbedenken nutzen \(23\%\) ein Fitnessarmband. \(19\%\) aller Versicherten haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein Fitnessarmband.

1. Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

   (3 P)

\(\\\)

2. Unter allen Versicherten wird eine Person zufällig ausgewählt.
   Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie kein Fitnessarmband nutzt und Datenschutzbedenken hat.

   (2 P)

\(\\\)

3. Eine unter allen Versicherten zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie Datenschutzbedenken hat.

   (3 P)

\(\\\)

4. Die Zahl \(0{,}23\) und der Term \(0{,}59 \cdot 0{,}23 + 0{,}19\) geben die Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang an.

   Es gilt: \(\quad 0{,}23 \not= 0{,}59 \cdot 0{,}23 + 0{,}19\)

   Begründen Sie damit, dass die Ereignisse

   ,,Eine unter allen Versicherten zufällig ausgewählte Person hat Datenschutzbedenken.‘’

   und

   ,,Eine unter allen Versicherten zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband.‘’

   stochastisch abhängig sind.

   (3 P)

\(\\\)

\(100\) Versicherte des Unternehmens werden zufällig ausgewählt.

5. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

   • höchstens \(70\%\) der ausgewählten Versicherten Datenschutzbedenken haben;

   • mehr als \(50\%\) der ausgewählten Versicherten Datenschutzbedenken haben;

   • mindestens \(54\) und höchstens \(64\) der ausgewählten Versicherten Datenschutzbedenken haben.

     (6 P)

\(\\\)

6. Ersetze man den Platzhalter \(a\) und \(b\) in geeigneter Weise, so kann mit dem Term

   \( \quad 1 -\displaystyle{\sum\limits_{k=51}^{100} \binom{100}{k} \cdot 0{,}59^k \cdot a^b} \)

   \(\\\) die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden.

   Geben Sie an, wodurch die Platzhalter zu ersetzen sind, und beschreiben Sie das zugehörige Ereignis.

   (3 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Karton mit 36 Schachteln

Eine Händlerin bezieht Fitnessarmbänder von einer Firma. Die Armbänder werden in Kartons geliefert. Ein Karton enthält \(36\) Schachteln mit jeweils einem Armband. Insgesamt sind \(12\) weiße, \(12\) rote und \(12\) blaue Armbänder in einem Karton.

\(\\\)

1. Aus einem vollständig gefüllten Karton werden zufällig und ohne Zurücklegen drei Schachteln entnommen.

   • Geben Sie ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit \(\; \frac{12}{36} \cdot \frac{11}{35} \cdot \frac{10}{34} \;\) an.

   • Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei der drei Schachteln ein weißes Armband enthalten.

     (5 P)

\(\\\)

2. Die Händlerin besitzt zwei Kartons der Firma. Einer dieser Kartons ist noch vollständig gefüllt, der andere enthält nur noch \(30\) Schachteln, denn aus diesem sind \(6\) Schachteln mit weißen Armbändern verkauft worden.
   Die Händlerin wählt einen der zwei Kartons zufällig aus, dann entnimmt sie aus diesem Karton zufällig eine Schachtel.

   Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Händlerin

   • kein weißes Armband erhält;

   • zufällig den vollständigen Karton ausgewählt hat, wenn sie ein weißes Armband erhält.

     (7 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Fehlerhafte Armbänder

Ein Händler ist im Internet auf die Information gestoßen, dass \(7\%\) der produzierten Fitnessbänder fehlerhaft seien. Der Händler vermutet, dass weniger Armbänder fehlerhaft sind. Um dies zu überprüfen, führt er einen Signifikanztest mit der Nullhypothese

,,Der Anteil der fehlenhaften Armbänder beträgt mindestens \(7\%\).‘’

durch.

1. Beschreiben Sie den Fehler erster Art im Sachzusammenhang.

   (2 P)

\(\\\)

Für diesen Test gilt:

• Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens vier Armbänder fehlen.

• Der Abbildung kann die Wahrscheinlichkeit \(w\) für den Fehler erster Art in Abhängigkeit vom Anteil \(p\) fehlerhafter Armbänder entnommen werden.

\(\\\)

2. Begründen Sie anhand der Abbildung, dass das Signifikanzniveau nicht \(9\%\) ist.

   (2 P)

\(\\\)

3. Ermitteln Sie den Umfang der für den Test verwendeten Stichprobe.

   (4 P)

Lösung

\(\\[2em]\)