Normalverteilung mit dem Casio fx-991DE X
Inhaltsverzeichnis
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Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung mithilfe des Taschenrechners
Wie bereits in der Normalverteilung beschrieben wurde, wird der Wert \(k=65\) bei der Binomialverteilung mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } n & = & 100 \\ p & = & 0{,}7 \\ \end{array} \)
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und den Werten
\( \quad \begin{array}{ r c l } \mu & = & 70 \\ \sigma & = & 4{,}58 \\ \end{array} \)
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in den Wert der Normalverteilung
\( \quad z \, = \, 0{,}98 \)
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umgerechnet. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit kann mit dem Taschenrechner nun auf zweierlei Arten erfolgen:
\(\\[1em]\)
Wahrscheinlichkeit bestimmen mit den Werten der Normalverteilung
Dazu gehen wir im Menu zu Punkt den Verteilungsfunktionen (7)
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und bestätigen mit \(\boxed{=}\) .
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Dort wählen wir die kumulierte Normalverteilung mit \(\boxed{2}\)
Eigentlich brauchen wir den Bereich von \(-\infty\) bis \(-0{,}98\) . Da nach links nur erfassbare Werte der Verteilung bis \(-3\) existieren genügt es, wenn wir \(-1000, -100\) oder \(-10\) eingeben. Tatsächlich kommt bei allen drei Werten das gleiche Ergebnis heraus.
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\(\mu\) und \(\sigma\) lassen wir bei der Voreinstellung \(0\) und \(1\). Jede Eingabe wird mit \(\boxed{=}\) bestätigt. Anschließend tippen wir noch einmal \(\boxed{=}\) . Wir erhalten das Ergebnis.
\(\\[1em]\)
Wahrscheinlichkeit bestimmen mit den Werten der Binomialverteilung
Diese Methode hat nun den Vorteil, dass zuvor nicht der \(z\)-Wert berechnet werden braucht. Wir gehen dazu wieder in die Verteilungsfunktionen
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und wählen die \(\boxed{2}\) .
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Dieses Mal geben wir die Grenzen der Binomialverteilung ein unter Berücksichtigung der Stetigkeitskorrektur. Ferner werden die berechneten \(\mu\)- und \(\sigma\)-Werte eingegeben. Jede Eingabe wir mit \(\boxed{=}\) bestätigt.
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Ferner werden die berechneten \(\mu\)- und \(\sigma\)-Werte eingegeben. Wirr erhalten das Ergebnis mit \(\boxed{=}\) .
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Trotz Stetigkeitskorrektur weicht das Ergebnis leicht von der vorherigen Methode ab, allerdings erst ab der 3. Nachkommastelle. Das ist durchaus akzeptabel.
\(\\[2em]\)
Bestimmung der Stelle k der Normalverteilung mithilfe des Taschenrechners
Der große Vorteil beim Arbeiten mit der Normalverteilung liegt darin, dass eine gesuchte Stelle \(k\) rechnerisch bestimmt werden kann. Bei der Binomialverteilung sind wir ja auf das Probieren verschiedener Werte angewiesen.
Wir suchen nun die \(80\%\)-ige Umgebung um den Erwartungswert.
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Gemeint ist das Intervall, in dem mindestens eine Wahrscheinlichkeit von \(80\%\) vorliegt. Da wir nach den Regeln der Integralrechnung vorgehen, muss die Fläche zugrunde gelegt werden, die bei \(-\infty\) beginnt und bei der Grenze aufhört.
Für die linke Grenze gilt nun
\( \quad \Phi(k) \, \leq \, 0{,}1 \)
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Mit der Umkehrfunktion (inverse Funktion) von \(\Phi\) können wir \(k\) bestimmen.
\( \quad k \, = \, \Phi^{-1}(0{,}1) \)
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Dazu gehen wir wieder in die Verteilungsfunktionen
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und wählen \(\boxed{3}\) . Wir geben die Werte ein
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und bestätigen jeweils mit \(\boxed{=}\) . Für das Ergebnis tippen wir noch einmal \(\boxed{=}\) .
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Für die rechte Grenze müssen wir nun \(80\%\) weiter gehen. Damit gilt
\( \quad \Phi(k) \, \geq \, 0{,}9 \)
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Wir bestimmen \(k\) mit
\( \quad k \, = \, \Phi^{-1}(0{,}9) \)
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und geben entsprechend in den Taschenrechner
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ein. Wir erhalten das Ergebnis
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Die \(80\%\)-ige \(\sigma\)-Umgebung liegt also im Intervall \([64;76]\). Die Überprüfung mit der kumulierten Binomialverteilung bestätigt dieses.
\( \quad P(64 \leq x \leq 76) \, = \, 0{,}8084 \, = \, 80{,}84 \% \)
\(\\[1em]\)