HMF 6 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – lokale Änderungsrate
Die lokale Änderungsrate wird mit der 1. Ableitung von \(f\) bestimmt:
\( \quad f'(x) \; =\; x^4 + 4x^3 - 8x^2 \)
an der Stelle \(x=-1\) bestimmt:
\( \begin{array}{ r c l } f'(-1) & = & (-1)^4 + 4 \cdot (-1)^3 - 8 \cdot (-1)^2 \\[6pt] & = & 1 - 4 - 8 \\[6pt] & = & - 11 \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Wendestellen
notwendige Bedingung
\( \quad \begin{array}{ r c l l } f''(x) & = & 0 \\[24pt] f''(x) & = & 4x^3 + 12x^2 - 16x \\[6pt] 0 & = & 4x^3 + 12x^2 - 16x \\[6pt] 0 & = & x \cdot \left( 4x^2 + 12 - 16 \right) \\ \end{array} \)
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Nach der Regel des Nullprodukts unterscheiden wir 2 Fälle:
\( \quad \begin{array}{ r r c l l } \textrm{Fall 1 :} & x_1 & = & 0 \\[20pt] \textrm{Fall 2 :} & 0 & = & 4x^2 \; + \; 12x \; - \; 16 & | \; : 4 \\[6pt] & 0 & = & x^2 \; + \; 3x \; - \; 4 \\ \end{array} \)
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Anwenden der PQ-Formel :
\( \quad \begin{array}{ r c l l } x_{2{,}3} & = & -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[8pt] & = & -\frac{3}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 - (- 4)} \\[8pt] & = & -\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4} \\[8pt] & = & -\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4} +\frac{16}{4}} \\[8pt] x_{2{,}3} & = & -\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}} & \quad \rightarrow Wurzelgesetze \\[8pt] & = & -\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} \\[8pt] & = & -\frac{3}{2}\pm \frac{5}{2} \\ \end{array} \)
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wir erhalten
\( \quad \begin{array}{ *{5}{r}} x_2 & = & \frac{2}{2} & = & 1 \\[8pt] x_3 & = & -\frac{8}{2} & = & -4 \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
hinreichende Bedingung
\( \quad \begin{array}{ r c l c l} f'''(x) & \not= & 0 \\[20pt] f'''(x) & = & 12x^2 + 24x - 16 \\[20pt] f'''(0) & = & 12 \cdot 0^2 + 24 \cdot 0 - 16 \\[6pt] & = & - \, 16 & \Rightarrow \; Wendestelle \\[20pt] f'''(1) & = & 12 \cdot 1^2 + 24 \cdot 1 - 16 \\[6pt] & = & 12 + 24 - 16 \\[6pt] & = & 20 & \Rightarrow \; Wendestelle \\[20pt] f'''(-4) & = & 12 \cdot (-4)^2 + 24 \cdot (-4) \; - 16 \\[6pt] & = & 192 - 96 - 16 \\[6pt] & = & 80 & \Rightarrow \; Wendestelle \\ \end{array} \)
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