Schar von g
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Element der Schar
Schreiben wir die Funktionsgleichungen
\( \quad \begin{array}{ c c r } f(x) & = & -288 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - 6} \\[5pt] g_k(x) & = & -8 \cdot k^2 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - k} \\ \end{array} \)
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untereinander, so fällt auf, dass sie sich nur an zwei Stellen unterscheiden. Setzen wir für \(k=6\) ein, so erhalten wir
\( \quad \begin{array}{ r c l } g_6(x) & = & -8 \cdot 6^2 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - 6} \\[6pt] & = & -288 \cdot (x - 9) \cdot e^{-0{,}1 \cdot (x - 9)^2 - 6} \\[6pt] & = & f(x) \\ \end{array} \)
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Damit ist \(f\) eine Funktion der Schar \(g_k\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Nullstellen der Schar
Wir definieren
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und berechnen die Nullstellen.
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Da nach der Vorgabe \(k \not= 0\) ist, existiert für alle sonstigen \(k\) nur die Nullstelle bei \(x=9\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Hochpunkt des Graphen
Deichhöhe von 11 Metern
Wir definieren eine Funktion \(h\) für die verschiedenen Höhen des Hochpunktes.
Wichtig dabei ist, die Taste \(\boxed{e^x}\)und nicht den Buchstaben \(\boxed{e}\) zu verwenden.
Für \(e\) schreiben wir \(e^1\)
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Wir setzen die Funktionsvorschrift \(h(k)\) mit \(11\) Metern gleich.
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Nach der Vorgabe ist nur \(5{,}80697\) eine zulässige Lösung.
\(\\[2em]\)
maximale Deichhöhe
notwendige Bedingung
\( \quad h'(k)=0 \)
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Wir definieren die 1. Ableitung
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und lösen die Gleichung.
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Mit der
\(\\[2em]\)
hinreichenden Bedingung
\( \quad h''(k) \not= 0 \)
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bestimmen wir das Maximum.
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Mit \(h''(0)>0\) und \(h''(2)<0\) erhalten wir ein Minimum bei \(k=0\) und ein Maximum bei \(k=2\).
\(\\\)
Da rechts vom Maximum die Höhe stetig abfällt ist im Intervall \(5 \leq k \leq 7\) bei \(k=5\) der Deich am höchsten.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Wendepunkt
notwendige Bedingung
\( \quad g_k''(x)=0 \)
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Die 2. Ableitung kann gebildet werden mit
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Wir definieren die 2. Ableitung mit
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und lösen die obige Gleichung.
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Die einzige Lösung, die für
\( k \in [5 ; 7 ] \quad \text{und} \quad x \in \left[0 ; 9 - \sqrt{5} \right] \)
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infrage kommt, ist \(x = 5{,}12702\).
\(\\[2em]\)
hinreichenden Bedingung
\( \quad g_k'''(x) \not= 0 \)
\(\\\)
Wir überprüfen den \(x\)-Wert.
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\(g'''(5{,}12702) \not= 0\). Damit existiert die Wendestelle.
\(\\[2em]\)
Funktionswert
\(\\\)
Der Wendepunkt lautet
\( \quad W \left( 5{,}12702 \; \Bigl| \; 6{,}91345 \cdot k^2 \cdot e^{-k} \right) \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 5 – maximaler Steigungswinkel
Die maximale Steigung ist seeseitig, also zwischen dem Tiefpunkt und dem Hochpunkt, im Wendepunkt. Das ist nach der Kontrolllösung bei \(x=9 - \sqrt{15}\).
Die Steigung wird berechnet mit der 1. Ableitung von \(g_k\) bei \(x=9 - \sqrt{15}\) und ist
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Für den Steigungswinkel gilt
\( \quad g_k'(x) \; = \; tan(\alpha) \)
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Wir berechnen das gesuchte \(k\) mit
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Für \(5 \leq k \leq 7\) ist \(k = 5{,}79845 \approx 5{,}8\) die einzige Lösung.
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