Funktionenschar
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Wert von k
Zunächst definieren wir \(f_k\) mit
\(\\\)
Wir lösen die Gleichung
\(\quad -\frac{3}{250} \cdot x^4 + \frac{18}{125} \cdot x^3 - \frac{54}{125} \cdot x^2 + 2 \; = \; -\frac{1}{100} k \cdot x^4 + \frac{3}{25} k \cdot x^3 - \frac{9}{25} k \cdot x^2 + 2 \)
\(\\\)
nach \(k\) auf.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Wendestelle
Für die Wendestellen gilt \(f_k^{''}(x) = 0\) und \(f_k^{'''}(x) \not= 0\). Wir definieren die ersten drei Ableitungen.
\(\\\)
Wir erhalten die Ableitungen
\(\\\)
Wir haben also
\(\quad \begin{array}{ r c l } f_k^{'}(x) & = & -\frac{1}{25}k x^3 + \frac{9}{25}k x^2 - \frac{18}{25}k x \\[12pt] f_k^{''}(x) & = & -\frac{3}{25}k x^2 + \frac{18}{25}k x - \frac{18}{25}k \\[12pt] f_k^{'''}(x) & = & -\frac{6}{25}k x + \frac{18}{25}k x \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wir berechnen die möglichen Wendestellen:
\(\\\)
Wir prüfen mit der dritten Ableitung, ob an den berechneten Stellen tatsächlich Wendestellen vorliegen.
\(\\\)
Da \(k \not= 0\) ist, ist sowohl
\(\quad \frac{6 \cdot \sqrt{3} \cdot k}{25} \not= 0 \)
\(\\\)
als auch
\(\quad \frac{-6 \cdot \sqrt{3} \cdot k}{25} \not= 0 \)
\(\\\)
Damit liegen bei
\(\quad x=-\sqrt{3} + 3 \quad \text{und} \quad x=\sqrt{3}+3 \)
\(\\\)
Wendestellen vor.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Lage der Wendepunkte
Wir bestimmen zunächst die \(y\)-Wert zu \(-\sqrt{3} + 3\) und \(\sqrt{3}+3\).
\(\\\)
Wie lautet nun das \(k\), wenn die Wendepunkte auf der \(x\)-Achse liegen?
\(\quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & - \frac{9 \cdot k}{25} + 2 & \Bigl| \, + \frac{9 \cdot k}{25} \\[6pt] \frac{9 \cdot k}{25} & = & 2 & \Bigl| \, \cdot \frac{25}{9} \\[6pt] k & = & \frac{50}{9} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Es ist nun leicht zu erkennen, dass
-
\(f_k \left( \sqrt{3}+3 \right) < 0\) ist, wenn \(k > \frac{50}{9}\) ist.
-
\(f_k \left( \sqrt{3}+3 \right) > 0\) ist, wenn \(k < \frac{50}{9}\) ist.
\(\\\)
Entsprechendes gilt für \(f_k \left( \sqrt{3}+3 \right)\).
Damit kann nun über die Lage der Wendepunkte Folgendes gesagt werden:
-
Die Wendepunkte liegen oberhalb der \(x\)-Achse, wenn \(k < \frac{50}{9}\) ist.
-
Die Wendepunkte liegen unterhalb der \(x\)-Achse, wenn \(k > \frac{50}{9}\) ist.
-
Die Wendepunkte liegen auf der \(x\)-Achse, wenn \(k = \frac{50}{9}\) ist.
\(\\\)