Funktion f
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Daten ablesen
\(\quad\)
Die Temperatur ist \(f(6)=250^{\circ}\) und die momentane Temperaturänderungsrate nach 6 Minuten ist die Steigung der Tangente bei \(x=6\). Wir zeichnen also eine Tangente ein und lesen die Werte ab.
\( \quad m= \frac{ {\scriptstyle {\Delta}} y}{ {\scriptstyle \Delta} x} = \frac{100}{1{,}5} = \frac{200}{3} \approx 66{,}7 \frac{^\circ C}{min} \)
Je nachdem wie genau die Tangente wird, gibt es hier tolerierbare Abweichungen.
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Aufgabe 2 – maximale Temperatur
Wir berechnen die Extrempunkte und benötigen mit der
\(\\\) notwendigen Bedingung: \(f'(t)=0\)
die 1. Ableitung:
\( \quad f'(t)=-4t^3 + 56t^2 - 224t + 256 \)
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und setzen sich gleich Null:
\( \quad 0 = -4t^3 + 56t^2 - 224t + 256 \)
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Mit dem Taschenrechner, z. B. den Casio fx-991 DE X mit der Funktion
\( \quad menu \rightarrow A \rightarrow 2 \\ \)
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erhalten wir
\( \quad x_1=8 \; , \qquad x_2=4 \; , \qquad x_3=2 \\ \)
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Weiter überprüfen wir die Werte mit der 2. Ableitung, wobei die
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hinreichende Bedingung: \(f''(t) \mathbf{\not= 0}\)
gilt.
\( \quad \begin{align} f''(t) & = -12t^2 + 112t - 224 \\[6pt] f''(2) & = -12 \cdot 2^2 + 112 \cdot 2 - 224 = -48 < 0 \quad \Rightarrow Hochpunkt \\[6pt] f''(4) & = -12 \cdot 4^2 + 112 \cdot 4 - 224 = 32 > 0 \quad \Rightarrow Tiefpunkt \\[6pt] f''(8) & = -12 \cdot 8^2 + 112 \cdot 8 - 224 = -96 < 0 \quad \Rightarrow Hochpunkt \\[6pt] \end{align} \)
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Funktionswerte
\( \quad \begin{align} f (2) & = -2^4 + \tfrac{56}{3}\cdot 2^3 - 112 \cdot 2^2 +256 \cdot 2 + 8 = \tfrac{616}{3} \approx 205{,}33 \\[6pt] f (4) & = -4^4 + \tfrac{56}{3}\cdot 4^3 - 112 \cdot 4^2 +256 \cdot 4 + 8 = \tfrac{536}{3} \approx 178{,}67 \\[6pt] f (8) & = -8^4 + \tfrac{56}{3}\cdot 8^3 - 112 \cdot 8^2 +256 \cdot 8 + 8 = \tfrac{1048}{3} \approx 349{,}33 \\ \end{align} \)
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Wir erhalten also die Punkte
\( \quad H_1(2|205{,}33), \qquad T(4|178{,}67), \qquad H_2(8|349{,}33) \\ \)
Damit liegt die maximale Temperatur bei 349,33°C.
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Aufgabe 3 – durchschnittliche Temperatur
Die durchschnittliche Temperatur berechnen wir mit der Mittelwertsformel
\( \quad \overline{m} = \frac{1}{b-a} \displaystyle{\int}_a^b f(x)dx = \tfrac{1}{9-0} \displaystyle{\int}_0^9 \left(-t^4 + \tfrac{56}{3} t^3 - 112 t^2 +256t + 8\right) dt = 225{,}8^\circ C \)
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Aufgabe 4 – momentane Temperaturänderungsrate
Die momentane Temperaturänderungsrate, siehe Tabelle,
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zu Beginn des Grillvorgangs, dass heißt, die Tangentensteigung bei \(x=0\), wird mit der 1. Ableitung berechnet.
\( \quad f'(0)=-4 \cdot 0^3 + 56 \cdot 0^2 - 224 \cdot 0 + 256 = 256 \frac{^\circ C}{min} = 4{,}27 \frac{^\circ C}{sec} \)
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