HMF 4 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Gerade g
Zum Aufstellen der Geradengleichung
kann als Stützvektor
\(\quad \vec{p} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ 7 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
und als Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene
\(\quad \vec{n} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
genommen werden.
\(\quad \begin{array}{ r c l l } g: \; \vec{x} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ 7 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Wert für a
Damit die vorliegenden Bedingungen für \(a\) erfüllt sind, muss Folgendes gegeben sein:
- \(\vec{v}\) und \(\vec{n}\) müssen orthogonal zueinander sein.
- \(P\) darf nicht in \(E\) liegen.
\(\\\)
Orthogonalität
\(\quad \begin{array}{ r c l l } \vec{v} \circ \vec{n} & = & 0 \\[10pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ a \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[25pt] 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + a \cdot 2 & = & 0 \\[6pt] 4 + 1 + 2a & = & 0 \\[6pt] 5 + 2a & = & 0 & | -5 \\[6pt] 2a & = & -5 & | :2 \\[8pt] a & = & -\frac{5}{2} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Punktprobe
\(\quad \begin{array}{ r c l l } 2 \cdot 6 + 3 + 2 \cdot 7 & = & 11 \\[6pt] 29 & = & 11 \\ \end{array} \)
Die Punktprobe ergibt einen Widerspruch. Damit liegt \(P\) nicht in \(E\). Die Gerade \(g_a\) verläuft also parallel zur Ebene \(E\) mit dem Wert \(a=-\frac{5}{2}\).
\(\\\)