Newton-Verfahren
Das Newtonsche Näherungsverfahren ist ein Tangentenverfahren. Das heißt, dass wir uns mithilfe von Tangenten der Nullstelle immer weiter annähern.
Als Beispiel nehme ich aus einer Aufgabe des Abiturs 2019 die Funktion :
\(\quad d(x) = 5x^2 \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} - 5 \cdot e^{-\frac{2}{3}} \)
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Zum Zeigen ersetze ich \(5 \cdot e^{-\frac{2}{3}}\) durch die Dezimalzahl \(2{,}567\) um Tipparbeit zu sparen. Wir bestimmen also \(x\) für
\( \quad 0 = 5x^2 \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} - 2{,}567 \)
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Das Newton-Verfahren geht nun folgendermaßen vonstatten:
- Wir wählen einen Startwert \(x\), bei dem \(f(x)\) möglichst nah an der \(x\)-Achse liegt. \(f(x)\) kann positiv oder negativ sein. In der Skizze starten wir bei dem Punkt \(A\).
- Wir legen eine Tangente \(t\) an den Graphen durch diesen Punkt.
- Wir bestimmen die Nullstelle \(C\) der Tangente.
- Von dort loten hoch zu dem Graphen.
- An diesem Punkt \(D\) wird wieder eine Tangente an den Graphen gelegt und dessen Nullstelle \(E\) bestimmt.
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Das wird nach diesem Muster weiter fortgeführt, so dass wir immer genauer an die Nullstelle des Graphen gelangen. Sind wir nahe genug, so können wir das Verfahren abbrechen.
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Vorgehensweise
Zunächst bestimmen wir einen geeigneten Startpunkt. Dazu suchen wir mit der Wertetabelle des Taschenrechners (Casio fx-991-DE X) einen \(x\)-Wert, bei dem \(d(x)\) möglichst nah bei Null liegt.
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Wir sehen, dass die Funktionswerte das Vorzeichen wechseln bei \(x=0{,}65\) nach \(x=0{,}70\). Also liegt der gesuchte \(x\)-Wert dazwischen. Wir wählen als Startwert \(x=0{,}65\)
Die Nullstellen der Tangenten werden berechnet mit
\( \quad \boxed{ {x_{neu} = x_{alt} - \frac{d(x_{alt})}{d'(x_{alt})}} } \)
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Die so berechneten Nullstellen stellen die verbesserten Näherungswerte dar. Wir benötigen also
\( \quad \begin{array}{ r c l } d(x) & = & 5x^2 \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} - 2{,}567 \\[6pt] & & \quad \textit{und} \\[6pt] d'(x) & = & 10x \cdot \left( 1 + x^3 \right) \cdot e^{\frac{2}{3}x^3}\\ \end{array} \)
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Wichtig:
Damit wir schnell zu einem Ergebnis kommen, müssen die Zwischenergebnisse sehr genau sein. Hier sind sie auf 6 Nachkommastellen gerundet.
Wir nehmen \(x=0{,}65\) und setzen in die 3 Formeln ein und füllen die Tabelle aus.
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\(x_{neu}=0{,}653022\) nehmen wir nun als den Wert \(x_{alt}\) und berechnen alles noch einmal.
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Mit \(d(x)=0{,}000154\) haben wir auf 3 Nachkommastellen genau die Nullstelle bestimmt, so dass wir an dieser Stelle das Newton-Verfahren abbrechen können.
Die Nullstelle liegt also bei \(x \approx 0{,}653\).
\(\\[1em]\)