HMF 3 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Mittelpunkt, Radius, Punkt
Mit der allgemeinen Kugelgleichung
\( \quad K: (x_1 - m_1)^2 + (x_2 -m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2 \)
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können wir den Mittelpunkt und Radius ablesen mit
\( \quad M(4 | 4 | 1) \quad \textrm{und} \quad r^2=1 \; \Leftrightarrow \; r=1 \)
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Setzen wir nun 2 geeignete Punktkoordinaten in die Kugelgleichung \(K\) ein, z. B. \(x_1=4\) und \(x_2=4\), so erhalten wir die 3. Punktkoordinate:
\( \quad \begin{array}{ r c l l} (4 - 4)^2 + (4 -4)^2 + (x_3 - 1)^2 & = & 1 & \\[6pt] (x_3 - 1)^2 & = & 1 & | \sqrt{\dots} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Durch das Wurzelziehen erhalten wir 2 Lösungen:
\( \quad \begin{align} x_{3_1} - 1 & = 1 \quad | \; +1 && \textrm{und} & x_{3_2} - 1 & = -1 \quad | \; +1 \\[6pt] x_{3_1} & = 2 && & x_{3_2} & = 0 \end{align} \)
\(\\\)
Mit der 1. Lösung ergibt sich der Punkt \(P(4 | 4 | 2)\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Berührpunkt
Die Aufgabe lässt sich auf zweierlei Arten lösen:
- Berechnung der Schnittpunkte zwischen Gerade und Kugel.
- Nachweisen, dass die Gerade eine Tangente an der Kugel ist.
\(\\[1em]\)
Lösungsweg 1 – Schnittpunkt Gerade/Kugel
Für Kugel und Geraden gibt es 3 mögliche Lagen,
\(\quad\)
\(\\\) wie hier zu sehen ist. Das bedeutet, dass es nur
- 2 Schnittpunkte
- 1 Schnittpunkt
- keinen Schnittpunkt
geben kann.
\(\\\) Wir untersuchen nun die Anzahl der Lösungen bei der Schnittpunktberechnung. Dazu benötigen wir zuerst die Geradengleichung.
\( \quad \begin{array}{ r c l l} \textrm{g}: \vec{x} & = & \vec{a} \; + \; r \cdot \vec{AB} \\[6pt] & = & \vec{a} \; + \; r \cdot \left(\vec{b} - \vec{a}\right) \\[8pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \; r \cdot \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \\[10pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \; r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \)
\(\\\)
Zur Schnittpunktberechnung setzen wir die Gerade \(g\) in die Kugel
\( \quad K: (x_1 - 4)^2 + (x_2 - 4)^2 + (x_3 - 1)^2 = 1 \)
ein.
\(\\\) Gerade \(g\) können wir auch schreiben als
\( \quad \textrm{g}: \vec{x} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{l} 4 - 4 \cdot r \\ 4 + 4 \cdot r \\ 0 + 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
\(\\\)
Eingesetzt in \(K\) erhalten wir
\( \quad \begin{array}{ r c l l} (4 - 4 \cdot r - 4)^2 + (4 + 4 \cdot r -4)^2 + (- 1)^2 & = & 1 & \\[6pt] (- 4 r)^2 + (4 r)^2 + (- 1)^2 & = & 1 & \\[6pt] 16 r^2 + 16 r^2 + 1 & = & 1 & | - 1 \\[6pt] 32 r^2 & = & 0 & | : 32 \\[6pt] r^2 & = & 0 & | \sqrt{\dots} \\[6pt] r & = & 0 & \\ \end{array} \)
\(\\\)
Es existiert genau 1 Lösung mit \(r = 0\). Eingesetzt in \(g\) ergibt dann
\( \quad \vec{x} \; = \; \vec{a} \; = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
\(\\\)
Die Gerade berührt die Kugel in dem Punkt \(A(4 | 4 | 0)\).
\(\\[1em]\)
Lösungsweg 2 – Nachweisen der Tangente
Beim Vergleichen der Koordinaten von \(M(4 | 4 | 1)\) und \(A(4 | 4 | 0)\) können wir erkennen,
dass Punkt \(A\) genau 1 Einheit unter Mittelpunkt \(M\) und damit auf dem Rand der Kugel liegt.
\(\\\) Damit \(A\) ein Berührpunkt (Tangentialpunkt) der Geraden \(g\) ist, muss der Vektor \(\vec{AB}\) orthogonal zum Vektor \(\vec{AM}\) liegen. Das ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null ergibt.
\( \quad \begin{array}{ r c l l} \vec{AB} \circ \vec{AM} & = & (\vec{b} \; - \; \vec{a}) \; \circ \; (\vec{m} \; - \; \vec{a}) \\[8pt] & = & \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \\[10pt] & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} - 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] & = & - 4 \cdot 0 \; + \; 4 \cdot 0 \; + \; 0 \cdot 1 \\[6pt] & = & 0 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Die Vektoren sind orthogonal zueinander. Folglich berührt die Gerade im Punkt \(A(4 | 4 | 0)\) die Kugel.
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