Punktbestimmung
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Extrempunkte
Wir definieren
\( \quad f(x) = - \frac{1}{10^6}x^4 + \frac{4}{9375}x^3 - \frac{13}{250}x^2 + \frac{8}{5}x+140 \)
\(\\\) mit
\( Aktion \; \rightarrow \; Befehle \; \rightarrow \quad define \)
\(\\\)
Damit ein Extrempunkt vorliegt, muss auf jeden Fall gelten
notwendige Bedingung
\( \quad f'(x)=0 \)
\(\\\) Wir berechnen die Gleichung mit
\(\\\)
hinreichende Bedingung
Um zu überprüfen, welche Art von Extrempunkte wir an den Stellen \(x_1=20\), \(x_2=100\) und \(x_3=200\) haben, setzen wir die Werte in die 2. Ableitung ein.
\(\\\)
Wir schließen auf die Art der Extrempunkte.
\( \quad \begin{align} f''(20) & = -\frac{36}{625} < 0 & \Rightarrow & \quad Hochpunkt \\[8pt] f''(100) & = \frac{4}{125} > 0 & \Rightarrow & \quad Tiefpunkt \\[8pt] f''(200) & = -\frac{9}{125} < 0 & \Rightarrow & \quad Hochpunkt \end{align} \)
\(\\\)
Funktionswerte
Nun benötigen wir noch die \(y\)-Werte der Extremstellen und bestimmen sie mit
\(\\\)
Die Extrempunkte haben die Koordinaten
\( H_1(20|154{,}45) \; , \quad T(100|106{,}67) \; , \quad H_2(200| 193{,}33) \)
\(\\[1em]\)
Aufgabe 2a – Schnittpunkt mit der y-Achse
Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt, dass \(x=0\) ist und wir ermitteln
\(\\\) Wir erhalten somit \(S_y(0|140)\).
\(\\[1em]\)
Aufgabe 2b – Nullstellen
Die Funktion \(f\) ist eine Funktion 4. Grades und kann damit nur folgende Verläufe haben:
\(\\\) oder
\(\\\) Wie wir an den Abbildungen sehen, sind nur
- maximal 4 Nullstellen
- maximal 3 Extrempunkte
- maximal 2 Wendepunkte
möglich.
Mit den 3 berechnete Extrempunkten können wir sagen, dass unser Funktionsverlauf der 2. Abbildung entspricht. Denn wir haben ebenfalls einen Tiefpunkt und 2 Hochpunkte, die alle oberhalb der \(x\)-Achse liegen. Da es keine weiteren Extrempunkte geben kann, verläuft die Funktion links vom 1. Hochpunkt sowie rechts vom 2. Hochpunkt immer weiter nach unten und schneidet dabei je einmal die \(x\)-Achse.
\(\\[1em]\)
Aufgabe 3 – Punktepaar
Nach der Vorgabe soll der eine \(x\)-Wert um 60 größer sein als der andere bei gleichem \(y\)-Wert.
\(\\\)
Wir können also sagen, dass
\( \quad f(x)=f(x+60) \)
\(\\\) ist.
\(\\\) \(x=69{,}15282222\) ist der einzige Wert, der im Intervall \(50<x<130\) liegt.
\( \quad x = 69{,}15282222+60 = 129{,}15282222 \)
\(\\\)
Auch der zweite Wert erfüllt die Bedingung.
Der \(y\)-Wert folgt mit
\(\\\)