HMF 3 - Lösung


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Aufgabe 1 Koordinaten bestimmen

Die Menge der Punkte, in der alle Koordinaten gleich sind, ist folgende Menge:

\( \quad \bigl\{ \dots , (-1|-1|-1),(0|0|0), (1|1|1), (2|2|2), (3|3|3), \dots \bigl\} \)

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Es ist zu erkennen, dass diese Punktmenge auf einer Geraden \(g\) liegt mit dem Richtungsvektor \( \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

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Eine mögliche Geradengleichung wäre:

\( \quad g: \vec{x} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = t \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} t \\ t \\ t \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

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Wir bestimmen den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene

\( \quad E: 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6 , \)

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indem wir die Gerade \(g\) in \(E\) einsetzen:

\( \quad \begin{array}{ l c c c } 3t + 2t + 2t & = & 6 & \\[6pt] 7t & = & 6 & | :7 \\[6pt] t & = & \frac{6}{7} & \\ \end{array} \)

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Der gesuchte Punkt enthält die Koordinaten \(\left(\frac{6}{7} \, \Bigl| \frac{6}{7} \,\Bigl| \frac{6}{7} \right)\) .

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Aussage begründen

Bildlich veranschaulicht kann man sehen,

my image

dass alle parallelen Ebenen zu der Geraden \(g\) , sofern sie \(g\) nicht enthalten, diese auch nicht schneiden.

Folglich gibt es unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

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