Höhenwachstum w
Inhaltsverzeichnis
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größtes Wachstum
Für die maximale Wachstumsrate gilt
\( \quad w'(t) \; = \; 0 \quad \textrm{und} \quad w''(t) \; \not= \; 0 \)
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Wir definieren zunächst \(w(t)\). Für Definition verwenden wir den Befehl \(\boxed{Define}\), den wir auf dem Keyboard unter \(\boxed{Math3}\) finden.
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Wir benötigen die Ableitungen, die wir auf folgende Art schreiben:
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Wir brauchen die Variable der Funktion, in diesem Fall den \(t\)-Wert, für den diff-Befehl nicht, da wir den ja berechnen wollen. Weiter verwenden wir den solve-Befehl zum lösen von Gleichungen, den wir in \(\boxed{Math1}\) oder auch in \(\boxed{Math3}\) finden.
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Insgesamt haben wir die Befehlsfolge:
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Anschließend wird der berechnete \(t\)-Wert mit der 2. Ableitung überprüft.
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Da nun
\( \quad w'(40)=0 \quad \textrm{und} \quad w''(40) \; < \; 0 \)
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ist, liegt bei \(t=40\) ein lokales Maximum vor. Es sind keine weiteren Extremstelllen vorhanden. Folglich ist bei \(t=40\) die Wachstumsrate am größten.
Für den Zeitraum, zu der die Fichten mehr als 50 \(\frac{cm}{a}\) wachsen, rechnen wir
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Im Alter von \(16{,}61272418\) bis \(63{,}38727582\) Jahren wachsen die Fichten mehr als \(50\) Zentimeter pro Jahr.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – sich wiederholende Wachstumsrate
Wir berechnen dieses folgendermaßen:
Der 1. Zeitpunkt ist nach \(25\) Jahre der Pflanzung und der 2. Zeitpunkt ist \(30\) Jahre später, also \(55\) Jahre nach der Pflanzung.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Term
Das Integral
\( \quad \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \)
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gibt den aufsummierten Höhenzuwachs in Zentimetern in den ersten \(60\) Jahren an. Das heißt, dass
\( \quad \frac{1}{100} \cdot \left( 50 + \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \right) \; = \; 0{,}5 + \frac{1}{100} \cdot \displaystyle{\int}_0^{60} w(t) dt \)
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die Höhe einer Fichte \(60\) Jahre nach Pflanzung in Metern angibt, wenn sie mit einer Anfangshöhe von \(0{,}5\) Metern ausgepflanzt wurde.
Mit der Graph-Funktion lässt sich die Stammfunktion nun nicht darstellen, denn das Integral wird mithilfe der sogenannten Gaußschen Fehlerfunktion (error function ⭢ erf(x) ) ermittelt. Diese Funktion ist nicht im eigentlichen Sinne eine geschlossene Funktion (stetige Funktion), sondern muss näherungsweise durch eine Reihenentwicklung bestimmt werden.
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Wie lässt sich der Funktionsterm nun trotzdem zeichnen?
Mithilfe der Funktion Regression im Bereich Statistik können wir einen Funktionsgraphen angenähert über mehrere Datenpunkte darstellen. Wir bestimmen zunächst die Termwerte für die \(t\)-Werte. Hier ist das Ganze in 10-er Schritten. Das geht schnell, wenn man den einmal geschriebenen Term herunter zieht und die obere Grenze des Integrals jeweils ändert.
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Wir öffnen nun den Statistik-Bereich
und füllen die Tabelle aus. Also einfach kopieren in Main mit \(\boxed{Edit}\) \(\boxed{Copy}\) und einfügen in Statistik mit \(\boxed{Edit}\) \(\boxed{Paste}\).
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Mit dem hellblau markierten Graphensymbol können die Punkte angezeigt werden.
Bei \(t=40\) ist bei \(w(t)\) ein Maximum. Das heißt, das dieser Graph dort einen Wendepunkt hat. Wir können diesen Graphen nun ins Heft übertragen.
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