Binomialverteilung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Verkauf von 100 Fahrrädern
Bernoullikette
Wir berechnen die Binomialverteilung mit der Bernoullikette
\( \quad P(x = k) =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \end{smallmatrix} p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)
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Wir benötigen also \(n\),\(p\) und \(k\) und wählen
\( \quad \begin{array}{ l } n = 100 \\[5pt] p = 0{,}4 \\[5pt] k = 30 \\ \end{array} \)
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Hier bis \(x=70\) dargestellt:
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Mit \(P_{n;p}(x=k)\) ist also \(P_{100;0.4}(x = 30)\) zu berechnen.
Mit den Taschenrechnerfunktionen geht das recht einfach. Mit dem CASIO fx-991DE X gehen wir auf \(\boxed{MENU}\) und Verteilungsfunktion mit \(\boxed{7}\).
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Wir wählen die Binomialdichte mit \(\boxed{4}\)
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Weiter gehen wir auf Variable \(\boxed{2}\) und geben die Werte ein. Jede Eingabe wird mit \(\boxed{=}\) bestätigt.
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Zum Schluss noch einmal mit \(\boxed{=}\) bestätigen.
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Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter \(100\) zufällig ausgewählten Fahrräder genau \(30\) Mountainbikes befinden beträgt \(1\%\).
\(\\[2em]\)
kumulierte Binomialverteilung
Wir berechnen die kumulierte (aufsummierte) Binomialverteilung mit
\( \quad P(x\leq k) =\displaystyle{\sum_{i=0}^k} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n \\ i \end{array} \right) \end{smallmatrix} p^i \cdot (1-p)^{n-i} \)
\(\\\)
Wir benötigen also \(n\),\(p\) und \(k\) und wählen
\( \quad \begin{array}{ l } n = 100 \\[5pt] p = 0{,}4 \\[5pt] 35 \leq k < 45 \\ \end{array} \)
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Graphisch dargestellt:
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Wir berechnen
\( \quad P_{100;0.4}(35 \leq k < 45) \; = \; P(x \leq 44) \, - \, P(x \leq 34) \)
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Wir wählen dieses Mal
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die kumulierte Binomialverteilung. Dazu gehen wir mit \(\blacktriangledown\) Pfeil runter auf die nächste Seite
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und wählen die \(\boxed{1}\). Um mehrere Werte einzugeben
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wählen wir die Liste \(\boxed{1}\). Wir geben \(34\) und \(44\) ein.
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Wir geben die Werte
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ein und bestätigen mit \(\boxed{=}\)
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Es gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l } P_{100;0.4}(35 \leq k < 45) & = & P(x \leq 44) \, - \, P(x \leq 34) \\[6pt] & = & 0{,}821 \, - \, 0{,}1303 \\[6pt] & = & 0{,}6907 \\ \end{array} \)
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Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter \(100\) zufällig ausgewählten Fahrräder mindestens \(35\) und weniger als \(45\) Mountainbikes befinden beträgt \(69{,}07\%\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Erwartungswert
Der Erwartungswert ist
\( \quad \begin{array}{ r c l } \mu & = & n \cdot p \\[6pt] & = & 250 \cdot 0{,}4 \\[6pt] & = & 100 \\ \end{array} \)
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Um \(10\%\) mehr zu erhalten, multiplizieren wir mit \(1{,}1\) :
\( \quad 100 \cdot 1{,}1 \;\ = \; 110 \)
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Wir berechnen also
\( \quad \begin{array}{ r c l } P(x \geq 110) & = & 1 \, - \, P(x \leq 109) \\[6pt] & = & 1 \, - \, 0{,}8896 \\[6pt] & = & 0{,}1104 \\[6pt] & = & 11{,}04\% \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Ereignis des Terms
Mit \(p^0 = 1\) und \(\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = 1\) lautet der Term umgeformt
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\( \quad \begin{array}{ l } 1 - 0{,}6^{10} - 10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^9 \\[10pt] \; = \; 1 - \left( 0{,}6^{10} \; + \; 10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^9 \right) \\[10pt] \; = \; 1 - \bigg( 1 \cdot 1 \cdot 0{,}6^{10} \; + \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 10 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot 0{,}4^{1} \cdot 0{,}6^{9} \bigg) \\[10pt] \; = \; 1 - \bigg( \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot 0{,}4^{0} \cdot 0{,}6^{10} \; + \; \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 10 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot 0{,}4^{1} \cdot 0{,}6^{9} \bigg) \\ \end{array} \)
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Mit der Formel von Bernoulli
\( \quad P( x = k ) = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \end{smallmatrix} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \)
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gilt für \(n=10\) und \(p=0{,}4\)
\( \quad \begin{array}{ r c l } 1 - \big( P(x=0) \; + \; P(x=1) \big) & = & 1 - \big( P(x \leq 1) \big) \\[6pt] & = & P(x \geq 2) \\ \end{array} \)
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\(n=10\) ist die Anzahl der zufällig ausgesuchten Fahrräder und \(p=0{,}4\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mountainbike ausgewählt wird.
Der Term drückt die Wahrscheinlichkeit dafür aus, dass von \(10\) zufällig ausgesuchten Fahrrädern mindestens \(2\) Mountainbikes darunter sind.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – mindestens verkaufte Fahrräder
\( \quad \begin{array}{ r c l l } P(x > 800) & > & 0{,}96 & \\[6pt] 1 - P(x \leq 800) & > & 0{,}96 & | \; -1 \\[6pt] -P(x \leq 800) & > & -0{,}04 & | \cdot (-1) \\[6pt] P(x \leq 800) & < & 0{,}04 & \\ \end{array} \)
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Basierend auf der kumulierten Binomialverteilung gilt
\( \quad \displaystyle{\sum_{i=0}^{800}} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} n \\ i \end{array} \right) \end{smallmatrix} 0{,}4^i \cdot (1-0{,}4)^{n-i} \; < \; 0{,}04 \)
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Leider können wir die Ungleichung nicht mit einem einfachen Solve-Befehl oder auf andere einfache Weise lösen (mit einem CAS-Rechner geht dies allerdings schon); zumindest ist mir ein solcher Weg nicht bekannt. Deshalb bleibt nur der Weg über Näherung mit der Normalverteilung.
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Betrachten wir nun die Ungleichung graphisch, so ergibt sich dieses Bild.
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Diese Binomialverteilung wird in die Normalteilung transformiert,
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bei der die Werte
\( \quad \begin{array}{ r c l } \mu & = & 0 \\[6pt] \sigma & = & 1 \\ \end{array} \)
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gelten. Umgewandelt in die Normalverteilung gilt nun
\( \quad \Phi(z_0) \; < \; 0{,}04 \)
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\(z_0\) wird nun aus \(k=800\) berechnet mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } z_0 & = & \frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma} \\[8pt] & = & \frac{k + 0{,}5 - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}} \\[8pt] & = & \frac{800 + 0{,}5 - n \cdot 0{,}4}{\sqrt{n \cdot 0{,}4 \cdot (1 - 0{,}4)}} \\[8pt] & = & \frac{800{,}5 - 0{,}4 n}{\sqrt{0{,}24 n}} \\ \end{array} \)
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Wir können jetzt also sagen, dass
\( \quad \begin{array}{ r c l l } P(x \leq 800) & < & 0{,}04 & \\[6pt] \Phi(z_0) & < & 0{,}04 & \\[6pt] \Phi \left(\frac{800{,}5 - 0{,}4 n}{\sqrt{0{,}24 n}}\right) & < & 0{,}04 & \\ \end{array} \)
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ist. Mit der inversen Normalverteilung können wir nun \(z_0\) und damit \(n\) berechnen. Beim CASIO fx-991 DE X wählen wir \(\boxed{MENU}\) \(\boxed{7}\)
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sowie die inverse Normalverteilung mit \(\boxed{3}\) und geben ein
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Für \(\mu\) und \(\sigma\) lassen wir die Werte stehen.
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Es ist also
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \Phi^{-1} (0{,}04) & < & -1{,}75 & \\[6pt] \frac{800{,}5 - 0{,}4 n}{\sqrt{0{,}24 n}} & < & -1{,}75 & \\ \end{array} \)
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Wir lösen nun diese Ungleichung mit dem SOLVE-Befehl als Gleichung.
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Wir bestätigen mit \(\boxed{=}\)
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Die Überprüfung mit der kumulierten Binomialverteilung ergibt
\( \quad \begin{array}{ r c l l } P_{2099;0.4}(x \leq 800) & = & 0{,}0405 & \\[6pt] P_{2100;0.4}(x \leq 800) & = & 0{,}039 & \\ \end{array} \)
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Das bedeutet, dass
\( \quad P_{2100;0.4}(x > 800) \, > \, 96\% \)
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ist. Der Händler ist demnach von mindestens \(2100\) verkauften Fahrräder ausgegangen.
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