Aufgaben
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
“Schnittfigur”
Die Punkte \(A(4|0|0)\), \(B(4|4|0)\), \(C(0|4|0)\), \(F(4|4|3)\) und \(H(0|0|3)\) sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade \(h\) verläuft durch \(B\) und \(F\).
\(\quad\)
\(\\[1em]\)
Quader und Gerade h
- Begründen Sie, dass das Dreieck \(ABC\) rechtwinklig und gleichschenklig ist.
Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks an.
(3 P)
\(\\\)
- Geben Sie eine Gleichung der Geraden \(g\) an, die durch \(A\) und \(C\) verläuft.
Begründen Sie, dass diese Gerade windschief zur Geraden \(h\) ist.
(3 P)
\(\\\)
- Bestimmen Sie den Abstand von \(g\) zur Geraden durch \(B\) und \(H\).
(5 P)
\(\\\)
- Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ACH\).
(3 P)
\(\\[1em]\)
Ebenenschar
Die Punkte der Geraden \(h\) lassen sich durch
\( \quad P_t(4|4|t) \quad \textit{mit} \quad t \in \mathbb{R} \)
darstellen.
\(\\\)
Für jeden Wert von \(t\) liegen \(A\), \(C\) und \(P_t\) in der Ebene
\( \quad E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4 \cdot t = 0 \)
- Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(t\) , für die die zugehörige Ebene \(E_t\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene ein Winkel der Größe 60° einschließt.
(4 P)
\(\\\)
Der abgebildete Quader wird durch eine der Ebenen \(E_t\) in zwei Teilkörper zerlegt. Die Seiten der Schnittfigur dieser Ebene und des Quaders sind in der Abbildung gepunktet dargestellt.
- Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung den Wert von \(t\) ermitteln kann.
(3 P)
\(\\\)
- Es ist \(t=6\). Berechnen Sie das Volumen desjenigen der beiden Teilkörper, zu dem der Punkt \(B\) gehört, und erläutern Sie Ihr Vorgehen.
(5 P)
Es gibt Werte von \(t\) , für die die Schnittfigur des Quaders und der Ebene \(E_t\) die Form eines Dreiecks hat.
\(\\\)
- Geben Sie alle diese Werte von \(t\) an und beschreiben Sie in Abhängigkeit von \(t\) die Lage der Eckpunkte des Dreiecks.
(4 P)
\(\\[1em]\)
Schnittpunkte der Kanten des Quaders mit der Ebene
Es sei jetzt \(t>3\). \(Q_t\) sei der Schnittpunkt von \(E_t\) mit der Strecke \(\overline{EF}\) und \(R_t\) sei der Schnittpunkt von \(E_t\) mit der Strecke \(\overline{FG}\).
- Berechnen Sie die Koordinaten von \(Q_t\).
\( \qquad \left[ \text{Kontrolle}: \quad Q_t \left( 4\bigl|\frac{12}{t}\bigl|3 \right) \right] \)
(4 P)
\(\\\)
- Geben Sie die Koordinaten von \(R_t\) an und berechnen Sie die Länge der Strecke \(\overline{Q_t R_t}\) in Abhängigkeit von \(t\).
(3 P)
\(\\[1em]\)
Aufgabenstellung formulieren
Die folgende Aussage stellt die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den bisher betrachteten geometrischen Objekten dar:
\( \quad \Biggl|\dfrac{t \cdot 4 + t \cdot 4 - 4 \cdot 0 - 4 \cdot t} {\sqrt{t^2 + t^2 + 16}}\Biggl| =2 \qquad \Longleftrightarrow \qquad t=-2\sqrt{2} \quad \vee \quad t=2\sqrt{2} \)
\(\\\) Formulieren Sie eine dazu passende Aufgabenstellung.
(3 P)
\(\\[2em]\)