Aufgaben


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“Schnittfigur”

Die Punkte \(A(4|0|0)\), \(B(4|4|0)\), \(C(0|4|0)\), \(F(4|4|3)\) und \(H(0|0|3)\) sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade \(h\) verläuft durch \(B\) und \(F\).

\(\quad\) my image

\(\\[1em]\)

Quader und Gerade h

  1. Begründen Sie, dass das Dreieck \(ABC\) rechtwinklig und gleichschenklig ist. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks an.

    (3 P)

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  1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden \(g\) an, die durch \(A\) und \(C\) verläuft. Begründen Sie, dass diese Gerade windschief zur Geraden \(h\) ist.

    (3 P)

\(\\\)

  1. Bestimmen Sie den Abstand von \(g\) zur Geraden durch \(B\) und \(H\).

    (5 P)

\(\\\)

  1. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ACH\).

    (3 P)

\(\\[1em]\)

Ebenenschar

Die Punkte der Geraden \(h\) lassen sich durch

\( \quad P_t(4|4|t) \quad \textit{mit} \quad t \in \mathbb{R} \)

darstellen.

\(\\\)

Für jeden Wert von \(t\) liegen \(A\), \(C\) und \(P_t\) in der Ebene

\( \quad E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4 \cdot t = 0 \)

  1. Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(t\) , für die die zugehörige Ebene \(E_t\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene ein Winkel der Größe 60° einschließt.

    (4 P)

\(\\\)

Der abgebildete Quader wird durch eine der Ebenen \(E_t\) in zwei Teilkörper zerlegt. Die Seiten der Schnittfigur dieser Ebene und des Quaders sind in der Abbildung gepunktet dargestellt.

  1. Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung den Wert von \(t\) ermitteln kann.

    (3 P)

\(\\\)

  1. Es ist \(t=6\). Berechnen Sie das Volumen desjenigen der beiden Teilkörper, zu dem der Punkt \(B\) gehört, und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

    (5 P)

Es gibt Werte von \(t\) , für die die Schnittfigur des Quaders und der Ebene \(E_t\) die Form eines Dreiecks hat.

\(\\\)

  1. Geben Sie alle diese Werte von \(t\) an und beschreiben Sie in Abhängigkeit von \(t\) die Lage der Eckpunkte des Dreiecks.

    (4 P)

\(\\[1em]\)

Schnittpunkte der Kanten des Quaders mit der Ebene

Es sei jetzt \(t>3\). \(Q_t\) sei der Schnittpunkt von \(E_t\) mit der Strecke \(\overline{EF}\) und \(R_t\) sei der Schnittpunkt von \(E_t\) mit der Strecke \(\overline{FG}\).

  1. Berechnen Sie die Koordinaten von \(Q_t\).

\( \qquad \left[ \text{Kontrolle}: \quad Q_t \left( 4\bigl|\frac{12}{t}\bigl|3 \right) \right] \)

(4 P)

\(\\\)

  1. Geben Sie die Koordinaten von \(R_t\) an und berechnen Sie die Länge der Strecke \(\overline{Q_t R_t}\) in Abhängigkeit von \(t\).

    (3 P)

\(\\[1em]\)

Aufgabenstellung formulieren

Die folgende Aussage stellt die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den bisher betrachteten geometrischen Objekten dar:

\( \quad \Biggl|\dfrac{t \cdot 4 + t \cdot 4 - 4 \cdot 0 - 4 \cdot t} {\sqrt{t^2 + t^2 + 16}}\Biggl| =2 \qquad \Longleftrightarrow \qquad t=-2\sqrt{2} \quad \vee \quad t=2\sqrt{2} \)

\(\\\) Formulieren Sie eine dazu passende Aufgabenstellung.

(3 P)

\(\\[1em]\)

\(\quad\)

\(\\\)