Aufgaben

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\(\\\)

“E-Funktionen”

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit

\( \quad f(x) \; = \; x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}} \)

Der Graph von \(f\) ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Die Abbildung 1 zeigt diesen Graphen ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

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\(\\[1em]\)

Funktion f

1. Berechnen Sie den Funktionswert \(f(1)\) sowie die mittlere Steigung des Graphen \(f\) über dem Intervall \([0;1]\).

   (3 P)

\(\\\)

2. Prüfen Sie, ob der Punkt \((0{,}5 | 0{,}5)\) auf dem Graphen von \(f\) liegt.

   (2 P)

\(\\\)

3. Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von \(f\) für \(x \rightarrow +\infty\) an.

   (2 P)

\(\\\)

4. Zeigen Sie, dass

   \( \quad f'(x) = \left(1 - x^2\right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}} \)

ein Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) ist.

(3 P)

\(\\\)

5. Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(f\).

   (4 P)

\(\\\)

6. Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

   (2 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Stammfunktion F

Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion F von f und für jede reelle Zahl \(w>2022\) gilt

\(\qquad F(w) - F(0) \; \approx \; \displaystyle{\int}_0^{2022} f(x) dx \)

(3 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Funktionenschar

Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(f_a\) mit

\(\quad f_a(x) \; = \; x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \)

\(\\\) und \(a \in \mathbb{R}\).

\(\\[2em]\)

1. Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt \((1|1)\) enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von \(a\) an.

   (3 P)

\(\\\)

2. Der Graph der Funktion \(f_0\) ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse an.

   (2 P)

\(\\\)

3. Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen \(a\), \(a_1\) und \(a_2\):

   • \(f_a(0) = 0\)

   • \(f'_a(0)= f'_0(0)\)

   • \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \quad \Longleftrightarrow \quad a_1 = a_2 \vee x = 0\)

\(\\\)

Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.

(3 P)

Lösung

\(\\[2em]\) Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen \(\textrm{I}\) und \(\textrm{II}\) einteilen:

\(\textrm{I}\)     Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

\(\textrm{II}\)    Der Graph hat keine Extrempunkte.

\(\\\)

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe \(\textrm{I}\), die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe \(\textrm{II}\).

\(\\[2em]\)

Extrempunkte der Schar

Die Extremstellen von \(f_a\) sind genau die Lösungen der Gleichung \(a \cdot x^2 = 1\).

\(\\\)

1. Geben Sie zu den beiden Gruppen \(\textrm{I}\) und \(\textrm{II}\) jeweils alle zugehörigen Werte von \(a\) an und begründen Sie Ihre Angabe.

   (3 P)

\(\\\)

2. Zeigen Sie, dass alle Extrempunkte der Graphen der Schar auf den Geraden mit der Gleichung \(y=x\) liegen.

   (4 P)

\(\\\)

3. Für jeden positiven Wert von \(a\) bilden der Hochpunkt \(\big( v|f_a(v) \big)\) des Graphen von \(f_a\), der Punkt \(\left( 0|\frac{2}{v} \right)\), der Koordinatenursprung und der Punkt \(( v|0 )\) die Eckpunkte eines Vierecks.
   Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von \(a\), für den das Viereck den Flächeninhalt \(49\) hat.

   (6 P)

Lösung

\(\\[2em]\)