Funktion h

---

\(\\\)

Aufgabe 1 – Ableiten von h

Zunächst bestimmen wir die Ableitung von \(h\) :

\( \quad \begin{array}{ r c l l } h(x) & = & \frac{1}{2} \cdot \left(e^x + e^{-x}\right) & \\[8pt] h(x) & = & \frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2} \cdot e^{-x} & \qquad \bigl{|} \; \textit{Ableiten mit der Kettenregel} \\[8pt] h'(x) & = & \frac{1}{2} \cdot e^x - \frac{1}{2} \cdot e^{-x}& \qquad \bigl{|} \; \textit{Potenzumformung} \\[8pt] h'(x) & = & \frac{1}{2} \cdot e^x - \frac{1}{2 \cdot e^x} & \\ \end{array} \)

\(\\\)

Quadrieren von \(h(x)\):

\( \quad \begin{array}{ r c l l } \big( h(x) \big)^2 & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2} \cdot e^{-x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{Potenzumformung} \\[8pt] & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2 \cdot e^x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{Binomische Formel} \\[8pt] & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x \right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^x \cdot \frac{1}{2 \cdot e^x} + \left(\frac{1}{2 \cdot e^x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{1. Potenzgesetz} \\[8pt] & = & \frac{1^2}{2^2} \cdot \left(e^x\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{e^x}{ e^x} + \frac{1^2}{2^2 \cdot \left(e^x \right)^2} & \qquad \bigl{|} \; \textit{3. Potenzgesetz} \\[8pt] & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4 \cdot e^{2x}}& \\ \end{array} \)

\(\\\)

Quadrieren von \(h'(x)\):

\( \quad \begin{array}{ r c l l } \big( h'(x) \big)^2 & = & \left(\frac{1}{2} \cdot e^x - \frac{1}{2 \cdot e^x} \right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{Binomische Formel} \\[8pt] & = & \left( \frac{1}{2} \cdot e^x \right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^x \cdot \frac{1}{2 \cdot e^x} + \left(\frac{1}{2 \cdot e^x}\right)^2 & \qquad \bigl{|} \; \textit{1. Potenzgesetz} \\[8pt] & = & \frac{1^2}{2^2} \cdot \left(e^x\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{e^x}{ e^x} + \frac{1^2}{2^2 \cdot \left(e^x \right)^2} & \qquad \bigl{|} \; \textit{3. Potenzgesetz} \\[8pt] & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 \cdot e^{2x}} & \\ \end{array} \)

\(\\\)

Zusammensetzen:

\( \quad \begin{array}{ r c l } \big(h(x)\big)^2 - \big(h'(x)\big)^2 & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4 \cdot e^{2x}}- \left(\frac{1}{4} \cdot e^{2x} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 \cdot e^{2x}}\right) \\[8pt] & = & \frac{1}{4} \cdot e^{2x} + \frac{1}{2}+\frac{1}{4 \cdot e^{2x}}-\frac{1}{4} \cdot e^{2x} + \frac{1}{2}-\frac{1}{4 \cdot e^{2x}} \\[8pt] & = & \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \\ & = & 1 \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 – Herleitung

Mit

\( \quad \begin{array}{ r c l l } \big(h(x)\big)^2 - \big(h'(x)\big)^2 & = & 1 & | \; + \big(h'(x)\big)^2 \\[8pt] \big(h(x)\big)^2 & = & 1 + \big(h'(x)\big)^2 & \\ \end{array} \)

\(\\\)

gilt

\( \quad \begin{array}{ r c l c l } \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}\, dx & = & \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{\big(h(x)\big)^2} dx \\[8pt] \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}\, dx & = & \displaystyle{\int}_a^b \bigl|h(x)\bigl| dx \\ \end{array} \)

\(\\\)

Da

\( \quad h(x) \; = \; \frac{1}{2} \cdot e^x + \frac{1}{2} \cdot e^{-x} \)

\(\\\)

stets größer als Null ist gilt auch

\( \quad \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}\, dx \; = \; \displaystyle{\int}_a^b h(x) dx \)

\(\\\)

Mit der Voraussetzung \(h''(x) = h(x)\) gilt weiter

\( \quad \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1 + \big(h'(x)\big)^2}\, dx \; = \; \displaystyle{\int}_a^b h''(x) dx \)

\(\\\)

Es folgt die Aufleitung

\( \quad \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2} dx \; = \; \Big[ h'(x) \Big]_a^b \; = \; h'(b) - h'(a) \)

\(\\\)