Aufgaben


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“E-Funktionen (CAS)”

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(f_a\) mit

\( \quad f_a(x) \; = \; x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \textit{und} \quad a \in \mathbb{R} \)

Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

\(\\[1em]\)

Funktionen der Schar

Zunächst werden einzelne Funktionen der Schar betrachtet.

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  1. Berechnen Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von \(f_1\).

    (4 P)

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  1. Weisen Sie nach, dass \(f_1\) genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von \(f_1\) für \(x \rightarrow +\infty\) an.

    (2 P)

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  1. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f_1\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

    my image
    \(\qquad \qquad \qquad\)

    Ergänzen Sie die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

    (2 P)

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  1. Interpretieren Sie den folgenden Sachzusammenhang geometrisch:

    Für jede Stammfunktion \(F_1\) von \(f_1\) und für jede reelle Zahl   \(u>2022\) gilt

    \(\quad F_1(u) - F_1(0) \; \approx \; \displaystyle{\int}_0^{2022} f_1(x) dx \)

    (3 P)

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  1. Der Graph von \(f_0\) ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse an.

    (2 P)

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  1. Für einen Wert von \(a\) liegt der Punkt \(P(1|e)\) auf dem Graphen von \(f_a\).
    Berechnen Sie für diesen Wert von \(a\) die Größe des Winkels, den der Graph von \(f_a\) mit der Parallele zur \(x\)-Achse durch den Punkt \(P\) einschließt.

    (4 P)

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  1. Begründen Sie unter Verwendung der Abbildung 2, dass

    \( \quad \displaystyle{\int}_{-0{,}5}^1 f_{-1}(x) dx \; = \; \displaystyle{\int}_{0{,}5}^1 f_{-1}(x) dx \)

    gilt.

    my image

(2 P)

\(\\[2em]\)

Aussagen

Nun werden alle Funktionen der gegebenen Schar betrachtet.

\(\\[1em]\)

  1. Die folgenden Aussagen gelten für alle Zahlen \(a\), \(a_1\) und \(a_2\):

    • \(f_a(0) = 0\)

    • \(f_a'(0) = f_0'(0)\)

    • \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \quad \Leftrightarrow \quad a_1 = a_2 \; \vee \; x = 0\)

    Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.

    (3 P)

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  1. Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von \(a\) richtig ist:

,,Wird der Graph von \(f_a\) mit dem gleichen Faktor \(k>0\) sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.‘’

(3 P)

\(\\\)

  1. Für jedes \(a \in \mathbb{R}\setminus{\{0\}}\) sind die Wendestellen von \(f_a\) genau die Lösungen der Gleichung

    \(\quad ( a \cdot x^2 - 3) \cdot x \; = \; 0 . \)

    Geben Sie für alle Werte von \(a \in \mathbb{R}\) die Anzahl der Wendestellen von \(f_a\) an und begründen Sie Ihre Angabe.

    (5 P)

\(\\[2em]\)

Extrempunkte der Schar

  1. Zeigen Sie, dass alle Extrempunkte der Graphen der Schar auf der Gerade mit der Gleichung

    \( \quad y \; = \; x \)

    liegen.

    (5 P)

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  1. Für jeden positiven Wert von \(a\) bilden der Hochpunkt \(\big( v|f_a(v) \big)\) des Graphen \(f_a\), der Punkt \((0|2)\), der Koordinatenursprung und der Punkt \((v|0)\) die Eckpunkte eines Vierecks.

    Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von \(a\), für den das Viereck den Flächeninhalt \(144\) hat.

    (5 P)

\(\\[2em]\)