Aufgaben
Inhaltsverzeichnis
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“Regentonne”
Gegeben ist die Schar der Funktionen \(f_k\) mit
\( \qquad f_k(x) = (x - 3) \cdot \left( x^2 - k \cdot x - \tfrac{k}{2} \right)\quad \text{und} \quad x \in \mathbb{R} \; , \; k \in \mathbb{R} \)
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Der Graph von \(f_k\) wird mit \(G_k\) bezeichnet. Die Abbildung zeigt \(G_1\).
\(\qquad \qquad \qquad \quad\)
\(\\[1em]\)
Funktionenschar
- Bestimmen Sie für \(G_6\) die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten der Extrempunkte.
Zeichnen Sie \(G_6\) in die Abbildung ein.
(8 P)
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- Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte, durch die alle Graphen der Schar verlaufen.
(4 P)
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- Zeigen Sie, dass \(G_k\) für jeden Wert von \(k\) genau zwei Extrempunkte hat.
(5 P)
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- Jeder Graph \(G_k\) hat einen Wendepunkt.
Ermitteln Sie alle Werte von \(k\) , für die der Wendepunkt von \(G_k\) auf einer Koordinatenachse liegt.
(4 P)
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- Für alle Graphen der Schar wird jeweils die Tangente im Wendepunkt betrachtet. Jede dieser Tangenten schließt mit der \(x\)-Achse einen Winkel ein.
Bestimmen Sie die Größe des kleinsten dieser Winkel.
(5 P)
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- \(G_6\) schließt für \(0 \leq x \leq 3\) ein Flächenstück mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x=0\) ein. Für \(3 \leq x \leq 6\) schließt \(G_6\) ein zweites Flächenstück mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x=6\) ein. Rotieren dieses beiden Flächenstücke um die \(x\)-Achse, so entstehen zwei Körper.
Bestimmen Sie die Volumina der beiden Körper.
(2 P)
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- Beurteilen Sie die folgende Aussage:
“Rotieren zwei Flächenstücke gleichen Inhalts um die x-Achse, so stimmen die Volumina der beiden entstehenden Körper überein.”
(3 P)
\(\\[2em]\)
Wassermenge einer Regentonne
Die Funktion \(f_1\) beschreibt nun für \(0 \leq x \leq 3\) die momentane Änderungsrate der Wassermenge in einer großen Regentonne. Dabei steht \(x\) für die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn um 12:00 Uhr und \(f_1(x)\) für die momentane Änderungsrate in \(\frac{\, m^3}{h}\).
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- Berechnen Sie das Integral
\( \qquad \displaystyle{\int}_0^3 f_1(x)dx \)
und interpretieren Sie den Integralwert im Sachzusammenhang.
(2 P)
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- Um 12:15 Uhr enthält die Regentonne \(0{,}8 \; m^3\) Wasser.
Bestimmen Sie die maximale Wassermenge, die sich in der Zeit zwischen 12:00 Uhr und 15:00 Uhr in der Regentonne befindet.
(4 P)
\(\\[2em]\)
Zwei Regentonnen
Betrachtet werden nun zwei zu Beginn der Beobachtung leere Regentonnen \(T_1\) und \(T_2\). Die Funktionen \(f_{k_1}\) und \(f_{k_2}\) mit \(k_1 < k_2\) beschreiben für \(0 \leq x \leq 3\) die momentanen Änderungsraten der Wassermenge der Tonne \(T_1\) bzw. \(T_2\).
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, für den der Füllmengenunterschied zwischen den beiden Tonnen maximal ist.
(3 P)
\(\\[2em]\)