Aufgaben


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“Regentonne”

Gegeben ist die Schar der Funktionen \(f_k\) mit

\( \qquad f_k(x) = (x - 3) \cdot \left( x^2 - k \cdot x - \tfrac{k}{2} \right)\quad \text{und} \quad x \in \mathbb{R} \; , \; k \in \mathbb{R} \)

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Der Graph von \(f_k\) wird mit \(G_k\) bezeichnet. Die Abbildung zeigt \(G_1\).

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\(\qquad \qquad \qquad \quad\)

\(\\[1em]\)

Funktionenschar

  1. Bestimmen Sie für \(G_6\) die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten der Extrempunkte. Zeichnen Sie \(G_6\) in die Abbildung ein.

    (8 P)

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  1. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte, durch die alle Graphen der Schar verlaufen.

    (4 P)

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  1. Zeigen Sie, dass \(G_k\) für jeden Wert von \(k\) genau zwei Extrempunkte hat.

    (5 P)

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  1. Jeder Graph \(G_k\) hat einen Wendepunkt. Ermitteln Sie alle Werte von \(k\) , für die der Wendepunkt von \(G_k\) auf einer Koordinatenachse liegt.

    (4 P)

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  1. Für alle Graphen der Schar wird jeweils die Tangente im Wendepunkt betrachtet. Jede dieser Tangenten schließt mit der \(x\)-Achse einen Winkel ein. Bestimmen Sie die Größe des kleinsten dieser Winkel.

    (5 P)

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  1. \(G_6\) schließt für \(0 \leq x \leq 3\) ein Flächenstück mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x=0\) ein. Für \(3 \leq x \leq 6\) schließt \(G_6\) ein zweites Flächenstück mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x=6\) ein. Rotieren dieses beiden Flächenstücke um die \(x\)-Achse, so entstehen zwei Körper. Bestimmen Sie die Volumina der beiden Körper.

    (2 P)

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  1. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

“Rotieren zwei Flächenstücke gleichen Inhalts um die x-Achse, so stimmen die Volumina der beiden entstehenden Körper überein.”

(3 P)

\(\\[2em]\)

Wassermenge einer Regentonne

Die Funktion \(f_1\) beschreibt nun für \(0 \leq x \leq 3\) die momentane Änderungsrate der Wassermenge in einer großen Regentonne. Dabei steht \(x\) für die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn um 12:00 Uhr und \(f_1(x)\) für die momentane Änderungsrate in \(\frac{\, m^3}{h}\).

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  1. Berechnen Sie das Integral

\( \qquad \displaystyle{\int}_0^3 f_1(x)dx \)

und interpretieren Sie den Integralwert im Sachzusammenhang.

(2 P)

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  1. Um 12:15 Uhr enthält die Regentonne \(0{,}8 \; m^3\) Wasser. Bestimmen Sie die maximale Wassermenge, die sich in der Zeit zwischen 12:00 Uhr und 15:00 Uhr in der Regentonne befindet.

    (4 P)

\(\\[2em]\)

Zwei Regentonnen

Betrachtet werden nun zwei zu Beginn der Beobachtung leere Regentonnen \(T_1\) und \(T_2\). Die Funktionen \(f_{k_1}\) und \(f_{k_2}\) mit \(k_1 < k_2\) beschreiben für \(0 \leq x \leq 3\) die momentanen Änderungsraten der Wassermenge der Tonne \(T_1\) bzw. \(T_2\).
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, für den der Füllmengenunterschied zwischen den beiden Tonnen maximal ist.

(3 P)

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