Funktion f
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Herleitung der Gleichung
Wir erstellen ein Gleichungssystem und brauchen dazu die allgemeine Gleichung dritten Grades und ihre Ableitung:
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & ax^3 + bx^2 + cx + d \\[6pt] f'(x) & = & 3ax^2 + 2bx + c \\[6pt] \end{array} \)
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Wir nehmen die angegebenen Punkte und setzen sie in die entsprechende allgemeine Gleichung ein:
\( \quad \begin{array}{ l c r c l } A(0|0{,}2) & \quad \Longrightarrow & f(0) & = & 0{,}2 \\[6pt] B(1|0{,}3) & \quad \Longrightarrow & f(1) & = & 0{,}3 \\[6pt] T(0{,}5|0{,}13) & \quad \Longrightarrow & f(0{,}5) & = & 0{,}13 \\[6pt] & \quad \Longrightarrow & f'(0{,}5)& = & 0 \\ \end{array} \)
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Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
\( \quad \begin{array}{ c*{10}{c} } \textrm{I} & 0{,}2 & = & & & & & & & d \\[6pt] \textrm{II} & 0{,}3 & = & a &+ & b & + & c & + & d \\[6pt] \textrm{III} & 0{,}13 & = & {0{,}5}^3 a & + & {0{,}5}^2 b & + & 0{,}5 c & + & d \\[6pt] \textrm{IV} & 0 & = & 3 \cdot {0{,}5}^2 a & + & 2 \cdot 0{,}5 b & + & c & & \\[25pt] \textrm{I} & 0{,}2 & = & & & & & & & d \\[6pt] \textrm{II} & 0{,}3 & = & a & + & b & + & c & + & d \\[6pt] \textrm{III} & 0{,}13 & = & 0{,}125 a & + & 0{,}25 b & + & 0{,}5 c & + & d \\[6pt] \textrm{IV} & 0 & = & 0{,}75 a & + & b & + & c & & \\ \end{array} \)
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Wir lösen das Gleichungssystem mit dem Taschenrechner und erhalten die Lösungen
\( \quad \begin{align} a & = 0{,}4 \\[6pt] b & = -0{,}12 \\[6pt] c & = -0{,}18 \\[6pt] d & = 0{,}2 \end{align} \)
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Daraus folgt die Funktion \(f\) mit
\( \quad f(x) = 0{,}4x^3 - 0{,}12x^2 - 0{,}18x + 0{,}2 \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – 240 m über dem Meeresspiegel
Anhand des Querschnitts des Tals (Abbildung der Aufgabenstellung) können wir erkennen, dass es nur eine Stelle rechts vom Tiefpunkt gibt, für die diese Höhe \((f(x)=0{,}24)\)zutrifft. Wir berechnen diese Stelle mit
\( \quad \begin{array}{ r c l l } f(x) & = & 0{,}24 & \\[6pt] 0{,}4x^3 - 0{,}12x^2 - 0{,}18x + 0{,}2 & = & 0{,}24 &| \; - 0{,}24 \\[6pt] 0{,}4x^3 - 0{,}12x^2 - 0{,}18x - 0{,}04 & = & 0{,}24 & \\ \end{array} \)
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Mit der Taschenrechnerfunktion “Lösen einer Polynomfunktion” oder der SOLVE-Funktion erhalten wir den Wert
\( \quad x = 0.9129 \; {,} \)
also nach 912,9 m rechts vom Punkt \(A\) aus gesehen.
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Die Steigung an dieser Stelle, also die Steigung in einem Punkt, ist laut Tabelle
die 1. Ableitung der Funktion.
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Die Tangentensteigung wird nun berechnet mit \(f'(0{,}9129)\):
\( \quad \begin{array}{ r c l } f'(x) & = & 1{,}2x^2 - 0{,}24x - 0{,}18 \\[6pt] f'(0{,}9129) & = & 1{,}2 \cdot 0{,}9129^2 - 0{,}24 \cdot 0{,}9129 - 0{,}18 \\[6pt] f'(0{,}9129) & = & 0{,}6 \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Gefälle
Das durchschnittliche Gefälle wird nach der Tabelle aus der vorherigen Aufgabe berechnet mit
\( \quad m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \)
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Mit Punkt \(A\) und Punkt \(T\) erhalten wir
\( \quad \begin{array}{ r c l } m & = & \frac{f(x_T)-f(x_A)}{x_T-x_A} \\[6pt] m & = & \frac{0{,}13-0{,}2}{0{,}5-0} \\[6pt] m & = & \frac{-0{,}07}{0{,}5} \\[6pt] m & = & -\frac{7}{50} \\[6pt] m & = & -0{,}14 \\ \end{array} \)
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Auf \(100 \; m\) in waagerechter Richtung geht es von Punkt \(A\) nach Punkt \(T\) durchschnittlich \(14 \; m\) abwärts.
Das maximale Gefälle haben wir in der Regel im Wendepunkt. Wir überprüfen, ob es für \(0 \leq x < 0{,}5\) einen Wendepunkt gibt.
Der Tiefpunkt kann natürlich kein Wendepunkt sein. Deshalb ist \(x=0{,}5\) aus der Überprüfung ausgenommen.
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notwendige Bedingung: \(f''(x) = 0\)
\(\\\) \( \quad \begin{array}{ r c l l } f''(x) & = & 2{,}4x - 0{,}24 & \\[6pt] 2{,}4x - 0{,}24 & = & 0 & | \; +0{,}24 \\[6pt] 2{,}4x & = & 0{,}24 & | \; : 2{,}4 \\[6pt] x & = & 0{,}1 & \\ \end{array} \)
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hinreichende Bedingung: \(f'''(x)\not= 0\)
\(\\\) \( \quad \begin{array}{ r c l l } f'''(x) & = & 2{,}4 & \\[6pt] f'''(0{,}1) & = & 2{,}4 \not= 0 & \quad \Rightarrow Wendepunkt \\ \end{array} \)
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Die Steigung im Wendepunkt ist
\( \quad \begin{array}{ r c l } f'(0{,}1) & = & 1{,}2 \cdot 0{,}1^2 - 0{,}24 \cdot 0{,}1- 0{,}18 \\[6pt] f'(0{,}1 & = & -0{,}192 \\ \end{array} \)
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Wir haben also ein maximales Gefälle von \(0{,}192\) . Das heißt, dass es auf \(100 \; m\) in horizontaler Richtung \(19{,}2 \; m\) abwärts geht.
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