Funktionenschar f
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Hochpunkt
Sei \(k=3a\) und \(f_k\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c c c l} f_k(t) & = & k \cdot \left( t^3 - 4 \cdot t \right) & = & k \cdot t^3 - k \cdot 4 t \end{array} \)
\(\\\)
definiert. Der \(k\)-Wert ist der Streckungsfaktor der Funktionenschar \(f_k\) und gibt die Streckung in \(y\)-Richtung an. Das bedeutet, dass alle Punkte der Funktion \(f_k\) den 3-fachen \(y\)-Wert der Funktion \(f_a\) haben. Also hat der Hochpunkt \(H_k\) auch die 3-fache Höhe des Hochpunktes \(H_a\).
Auf die Lage des \(t\)-Wertes des Hochpunktes hat dieser Streckungsfaktor keine Auswirkung. Wir können dies mit einer Extrempunktberechnung belegen. Es gilt die notwendige Bedingung
\( \quad \begin{array}{ r c l l } f_k'(t) & = & 0 \\[12pt] f_k'(t) & = & 3k \cdot t^2 - 4k \\[8pt] 0 & = & 3k \cdot t^2 - 4k & | : k \\[6pt] 0 & = & 3 t^2 - 4 & | + 4 \\[6pt] 4 & = & 3 t^2 & | : 3 \\[8pt] \frac{4}{3} & = & t^2 & | \sqrt{\dots} \\[8pt] t_{1{,}2} & = & \pm\sqrt{\frac{4}{3}} \\ \end{array} \)
\(\\\)
An dieser Stelle ist bereits zu erkennen, dass der \(t\)-Wert eines möglichen Hochpunktes stets an der gleichen Stelle liegt. \(k\) hat also keinen Einfluß auf den \(t\)-Wert. Folglich ändert sich nur die Höhe des \(y\)-Wertes.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Winkel von 45°
An der Stelle \(t=2\) soll die Tangente laut Vorgabe einen Steigungswinkel von \(45^\circ\) haben.
Der Steigungswinkel wird berechnet mit
\( \quad tan(45^\circ) \; = \; f_a'(2) \)
\(\\\)
Wir bilden die 1. Ableitung.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } f_a(t) & = & a \cdot \left( t^3 - 4 \cdot t \right) \\[6pt] f_a(t) & = & a \cdot t^3 - a \cdot 4 t \\[8pt] f_a'(t) & = & 3a t^2 - 4a \\ \end{array} \)
\(\\\)
Mit \(tan(45^\circ) = 1\) und \(t=2\) erhalten wir
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 1 & = & 3a \cdot 2^2 - 4a \\[6pt] 1 & = & 12a - 4a \\[6pt] 1 & = & 8a & | : 8 \\[6pt] \frac{1}{8} & = & a \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Verschiebung von Funktion g
Führen wir die angegebene Verschiebung durch, so muss der \(t\)-Wert um \(2\) erhöht werden und \(g(t)\) um \(96\) reduziert werden.
\( \quad \begin{array}{ r c l } g(t+2) - 96 & = & 13 \cdot (t + 2)^3 - 78 \cdot (t + 2)^2 + 104 \cdot (t + 2) \end{array} \)
\(\\\)
Mit der 4. binomischen Formel
\( \quad \begin{array}{ r c l } (a + b)^3 & = & \binom{3}{0} a^3b^0 + \binom{3}{1} a^2b^1 + \binom{3}{2} a^1b^2 + \binom{3}{3} a^0b^3 \\[10pt] & = & a^3 + 3 a^2b + 3 ab^2 + b^3 \\ \end{array} \)
\(\\\)
erhalten wir
\( \quad \begin{array}{ r c l } g(t+2) - 96 & = & 13 \cdot (t^3 + 3t^2 \cdot 2 + 3t \cdot 2^2 + 2^3) - 78 \cdot (t^2 + 4t + 4) + 104 \cdot (t + 2) \\[8pt] & = & 13 t^3 + 78 t^2 + 156 t + 104 - 78 t^2 - 312t - 312 + 104 t + 208 \\[8pt] & = & 13 t^3 - 52 t \\[8pt] & = & 13 t^3 - 13 \cdot 4 t \\[8pt] & = & 13 \left(t^3 - 4 t \right) \\[8pt] & = & f_{13}(t) \\ \end{array} \)
\(\\\)