Aufgaben
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
“Fahrradhändler”
Alle in Ihren Lösungen verwendeten Zufallsgrößen müssen explizit eingeführt werden. Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsgrößen.
Ein Fahrradhändler hat festgestellt, dass es sich bei \(40\%\) aller von ihm verkauften Fahrräder um Mountainbikes handelt. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl verkaufter Fahrräder die Anzahl der Mountainbikes binomialverteilt ist.
\(\\[1em]\)
Binomialverteilung
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einer zufälligen Auswahl von \(100\) verkauften Fahrrädern
\(\\\)- genau \(30\) Mountainbikes befinden,
- mindestens \(35\) und weniger als \(45\) Mountainbikes befinden.
(5 P)
\(\\\)
- Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter einer zufälligen Auswahl von \(250\) verkauften Fahrrädern die Anzahl der Mountainbikes um mindestens \(10\%\) größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl.
(3 P)
\(\\\)
- Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term
\( \qquad 1 - 0{,}6^{10} - 10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^9 \)
berechnet werden kann. Geben Sie dieses Ereignis an.
(3 P)
\(\\\)
- Der Händler hat berechnet, dass er im September des Jahres 2020 mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(96\%\) mehr als \(800\) Mountainbikes verkaufen wird.
Ermitteln Sie, von welcher Anzahl verkaufter Fahrräder er bei dieser Berechnung mindestens ausgegangen ist.
(4 P)
\(\\[2em]\)
Aluminiumrahmen
Der Anteil der Mountainbikes unter allen verkauften Fahrrädern beträgt weiterhin \(40\%\). \(20\%\) aller verkauften Fahrräder haben einer Rahmen aus Aluminium. \(45\%\) aller verkauften Fahrräder sind weder Mountainbikes noch haben sie einer Rahmen aus Aluminium.
Bestimmen Sie den Anteil der Fahrräder mit einem Rahmen aus Aluminium unter den verkauften Mountainbikes.
(4 P)
\(\\[2em]\)
Jahr 2019
Die Abbildung
\(\quad\)
zeigt für einige Monate des Jahres 2019 jeweils den Anteil der Mountainbikes unter allen verkauften Fahrrädern.
\(\\\)
- Im April wurden \(810\) Mountainbikes verkauft. Bestimmen Sie für diesen Monat die Anzahl aller verkauften Fahrräder.
(2 P)
\(\\\)
- Der Anteil der Mountainbikes lag im Mai und Juni insgesamt bei \(46\%\); im Juli war er größer als als im Mai und im August größer als im Juni. Entscheiden Sie, ob es dennoch möglich ist, dass der Anteil der Mountainbikes im Juli und August insgesamt kleiner war als insgesamt im Mai und Juni. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
(3 P)
\(\\[2em]\)
Onlineportal
Der Händler verkauft \(70\%\) der von ihm verkauften Fahrräder über sein Ladengeschäft \(L\), den Rest über sein Onlineportal \(O\). In beiden Fällen bietet er an, für das gekaufte Fahrrad eine Garantieverlängerung abzuschließen \((G)\).
\(\\\)
- Vervollständigen Sie zu diesem Sachverhalt das Baumdiagramm in dieser Abbildung.
\(\qquad\)
\(\qquad \qquad \qquad \qquad \quad\)
\(\\\)
Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für ein zufällig ausgewähltes verkauftes Fahrrad eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird, kleiner als \(70\%\) ist.
(5 P)
\(\\\)
- Nach einer Neugestaltung seines Onlineportals vermutet der Händler, dass der Anteil der Fahrräder, für die beim Onlinekauf eine Garantieverlängerung abgeschlossen wird, auf über \(45\%\) gestiegen ist.
Erstellen Sie einen Hypothesentest mit einer Stichprobengröße von \(80\) Fahrrädern, der geeignet ist, die Vermutung des Händlers auf einem Signifikanzniveau von \(5\%\) zu stützen. Geben Sie auch die entsprechende Entscheidungsregel an.
(8 P)
\(\\[2em]\)
Aussage
Betrachtet werden zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) eines Zufallsexperiments, deren Wahrscheinlichkeit jeweils ungleich Null ist. Beweisen Sie folgende Aussage:
Wenn
\( \quad P(A) \cdot P(\overline{B}) \; = \; P(A \cap \overline{B}) \)
\(\\\)
ist, dann ist auch
\( \quad P(A) \cdot P(B) \; = \; P(A \cap B) . \)
(3 P)
\(\\[2em]\)