HMF 5 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Punkt
\( \quad \left. \begin{array}{ r c l l } h(2) & = & 2^2 + e^2 = 4 + e^2 \\ h(0) & = & 0^2 + e^0 = 1 \\ h(1) & = & 1^2 + e^1 = 1 + e \\ \end{array} \right\} (0|1) \text{ liegt auf den Graphen von } h \renewcommand{\arraystretch}{1} \\[2em] \)
Aufgabe 2 – Steigung
Die Steigung wird berechnet mit der 1. Ableitung.
\( \quad \begin{align} h'(x) & = 2x + e^x \\[6pt] h(1) & = 2 \cdot 1 + e^1 = 2 + e \end{align} \\[2em] \)
Aufgabe 3 – Übergang
Die Logarithmusfunktion \(ln(x)\) ist die Umkehrfunktion von \(e^x\) und zu dieser um die grüne Gerade \(y=x\) gespiegelt.
Die Funktion
\( \quad g(x) = e \cdot ln(x) + e \\ \)
ist die um \(e\) gestreckte und um \(e\) nach oben verschobene Logarithmusfunktion.
Wir prüfen nun, ob sie an der Stelle \((1|e)\) sprungfrei und knickfrei ineinander übergehen.
Funktionswerte:
\( \quad \begin{align} f(1) & = e^1 = e \\[5pt] g(1) & = e \cdot ln(1) + e = e \cdot 0 + e = e \end{align} \\ \)
Steigungen mit der 1. Ableitung:
\( \quad \begin{align} f'(x) & = e^x \\[6pt] m_f = f'(1) & = e^1 = e \\[10pt] g'(x) & = e \cdot \frac{1}{x} = \frac{e}{x} \\[6pt] m_g = g'(1) & = \frac{e}{1} = e \end{align} \\ \)
Die Funktionen gehen durch den gemeinsamen Punkt \((1|e)\) mit dergleichen Steigung \(m=e\).
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