Horner-Schema
Das Horner-Schema arbeitet wie auch die Polynomdivision mit dem Abspalten eines Linearfaktors. Das Horner-Schema ist aber wesentlich übersichtlicher und damit auch nicht so anfällig für Fehler.
Wir lösen die Gleichung
\( \quad 0 = 2x^3 - 18 x^2 + 28x + 4 \)
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Die ersten Schritte sind mit denen der Polynomdivision identisch. Wir bestimmen die 1. Nullstelle mit einer Wertetabelle. Wir geben in den Taschenrechner die Funktion
\( \quad f(x) = 2x^3 - 18 x^2 + 28x + 48 \)
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mit dem Tabellenbereich
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ein. Folgende Wertetabelle wird angezeigt:
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Wir wählen \(x_1=4\). Nun legen wir eine Tabelle an mit den Parametern des Funktionsterms
\( \quad 2x^3 - 18 x^2 + 28x + 48 \)
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in der Kopfzeile. Wir ziehen den 1. Parameter nach unten.
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Wir rechnen diese Zahl, hier die \(2\), mal den \(x\)-Wert und setzen das Ergebnis in die mittlere Zeile.
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Nun addieren wir die beiden übereinander stehenden Zahlen und schreiben das Ergebnis in die untere Zeile.
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Das Ergebnis wird wieder mal den \(x\)-Wert gerechnet und in die mittlere Zeile geschrieben. Die übereinander stehenden Zahlen werden addiert und das Ergebnis darunter notiert.
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Und das Ganze ein letztes Mal.
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Die letzte Zeile ist nun so zu lesen:
\( \quad 2 x^2 - 10x - 12 = 0 \)
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Das heißt, um die Bezug zur ursprünglichen Aufgabe wieder herzustellen, können wir jetzt schreiben:
\( \quad \begin{array}{ r c l } 0 & = & (x-4) \cdot \left(2 x^2 - 10x - 12\right) \\[6pt] 0 & = & 2x^3 - 18 x^2 + 28x + 48 \\ \end{array} \)
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Wir brauchen also nur
\( \quad 0 = 2 x^2 - 10x - 12 \)
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lösen, um auch die restlichen Nullstellen zu bekommen. Das machen wir mit der PQ-Formel. Zunächst teilen wir durch \(2\).
\( \quad 0 = x^2 - 5x - 6 \)
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Weiter geht es mit der Lösungsformel.
\( \quad \begin{array}{ r c l } x_{2,3} & = & -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[8pt] x_{2,3} & = & -\frac{-5}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2-(-6)} \\[8pt] x_{2,3} & = & \frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4} +6} \\[8pt] x_{2,3} & = & \frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4} +\frac{24}{4}} \\[8pt] x_{2,3} & = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}} \\[8pt] x_{2,3} & = & \frac{5}{2}\pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}} \\[8pt] x_{2,3} & = & \frac{5}{2}\pm \frac{7}{2} \\[6pt] x_2 & = & 6 \\[6pt] x_3 & = & -1 \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)