Funktionenschar
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Graphen der Schar
Die Hochpunkt haben alle den gleichen \(y\)-Wert bei ca. \(5\). Für positive \(k\)-Werte verschiebt sich der Hochpunkt bei abnehmenden \(k\) weiter nach rechts. Da alle Graphen durch einen bestimmten Punkt laufen, wird dieses durch eine Streckung in \(x\)-Richtung bewirkt, wofür der Wert \(k\) verantwortlich ist.
Aus der Funktionsgleichung kann man entnehmen, dass bei \(k=0\) die e-Funktion verschwindet und nur noch ein konstanter Wert nach bleibt. Das heißt, dass bei \(k=0\) eine waagerechte Gerade entsteht.
Wie sieht es nun für negative \(k\)-Werte aus? Das soll nach Aufgabenstellung eigentlich nicht erörtert werden. Trotzdem ist das hier anhand dieser Abbildung
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gezeigt. Es entsteht ein ähnliches Bild. Nur werden jetzt bei größer werdenden \(k\) die Hochpunkte weiter nach links versetzt.
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Zurück zu den positiven \(k\)-Werten. Je kleiner der \(k\)-Wert ist, desto größer ist der \(y\)-Achsenabschnitt, wobei bei allen Funktion der Schar die positive \(y\)-Achse geschnitten wird.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Punkt P
Wir definieren zunächst die Schar.
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Um zu zeigen, dass Punkt \(P\) auf allen Graphen von \(w_k\), berechnen wir \(w_k(5)\):
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Damit liegt \(P\) auf allen Graphen der Schar.
\(\\[1em]\)
Wendepunkte
Für Wendepunkte gelten die Bedingungen
\( \quad w_k''(x) = 0 \quad \textrm{und} \quad w_k'''(x) \not= 0 \)
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Wir lösen die Gleichung mit der 2. Ableitung.
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Wir überprüfen die beiden Werte mit der 3. Ableitung.
\( \quad -1{,}924500897 \cdot k^3 \not=0 \quad \textrm{und} \quad 1{,}924500897 \cdot k^3 \not=0 \quad \textrm{mit} \; \; k>0 \)
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Damit existieren beide Wendepunkte. Nun brauchen wir noch die dazu gehörigen \(y\)-Werte.
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Alle Wendepunkte liegen auf der Höhe \(y=3,333333333\). Damit kann \(P\) kein Wendepunkt sein.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Ortsgerade der Hochpunkte
Hochpunkte
Für Hochpunkte gelten die Bedingungen
\( \quad w_k'(x) = 0 \quad \textrm{und} \quad w_k''(x) \not= 0 \)
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Wir lösen die Gleichung mit der 1. Ableitung.
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Weiter überprüfen wir das Ergebnis mit der 2. Ableitung.
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Da \(k\) stets positiv ist, ist die 2. Ableitung kleiner als Null. Es liegt also ein Hochpunkt vor. Wir brauchen nun noch den \(y\)-Wert des Hochpunktes.
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Alle Hochpunkte haben den Wert \(y=5\). Damit müssen die Hochpunkte auf einer Gerade liegen, die parallel zur \(x\)-Achse ist mit der Höhe \(5\).
\(\\[1em]\)
Wert von \(k\) bestimmen
Wir berechnen das \(k\) indem wir den \(x\)-Wert des Hochpunktes mit \(6\) gleichsetzten.
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Mit den Logarithmengesetzen ist
\( \quad k \; = \; ln(3)+ln(2) \; = \; ln(3 \cdot 2) \; = \; ln(6) \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Flächeninhalt des Dreiecks
Die Fläche des Dreiecks wird berechnet mit
\( \quad A \; = \; \frac{g \cdot h}{2} \)
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Bei Punkt \(Q_k\) ist der \(x\)-Wert um \(\frac{ln(6)}{k}\) größer als vom Punkt \(P\). Also muss die Grundseite \(2 \cdot \frac{ln(6)}{k}\) lang sein. Die Höhe ist \(\frac{120}{49}\).
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Daraus ergibt sich die Flächenformel:
\( \quad A \; = \; \frac{2 \cdot \frac{ln(6)}{k} \cdot \frac{120}{49}}{2} \; = \; \frac{ln(6)}{k} \cdot \frac{120}{49} \)
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Wir lösen nun folgende Gleichung:
\(\\\) Damit die Fläche des Dreiecks genau \(1\) Flächeneinheit groß ist, muss \(k=4{,}387982374\) sein.
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