Fläche
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Fläche halbieren
Gesucht ist ein \(x\)-Wert mit \(x=z\), so dass die Fläche unter \(f\) von 0 bis \(z\) halb so groß ist wie die Fläche von 0 bis 240. Das wird folgendermaßen ausgedrückt
\( \quad \displaystyle{\int_0^z f(x)dx = \frac{1}{2} \cdot \int_0^{240} f(x)dx} \)
\(\\\)
und wird berechnet mit
\(\\\) Da \(0 \leq z \leq 240\) sein muss, lautet die gesuchte Gerade
\( \quad x = 135{,}641 \)
\(\\[1em]\)
Aufgabe 2 – Funktionswert d(u)
Wir definieren d(x)
\(\\\) sowie die 1. Ableitung mit
\(\\\) und berechnen \(x\) an der Stelle \(u\) .
\(\\\)
Nach der Voraussetzung \(0 < u \leq 240\) ist
\( \quad u = 210{,}627 \)
\(\\\)
Es folgt der Funktionswert mit
\(\\[1em]\)
Aufgabe 3 – Dreieck
\( \quad d(x)= \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) \)
\(\\\) beschreibt die Fläche eines Dreiecks nach der Flächenformel
\( \quad A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \)
\(\\\) mit dem Punkt \(C_x\) auf dem Graphen von \(f\), mit dem Punkt \(B_x\) bei gleichem \(x\)-Wert auf der \(x\)-Achse gelegen und \(A\) im Koordinatenursprung. Dann ist \(x\) die Grundseite und \(f(x)\) die Höhe des Dreiecks.
\(\\\) Um jetzt weiter \(d(u)\) zu beschreiben, bestimmen wir noch die 2. Ableitung von \(d(u)\) .
\(\\\) und wir erhalten die 2. Ableitung von \(u = 210{,}627\) mit
\(\\\) \(d''(u)<0\) und damit ist \(d(x)\) maximal an der Stelle
\( \quad x = u = 210{,}6267593 \)
\(d(u)\) gibt also die größtmögliche Dreiecksfläche für eine Dreieck an, dass mit \(d(x)\) gebildet wird für \(0 < x \leq 240\).
\(\\\)