Fehlerhafte Einstufung
\(F\) : fehlerfreier Bildschirm
\(\overline{F}\) : fehlerhafter Bildschirm
\(E\) : als fehlerfrei eingestufter Bildschirm
\(\overline{E}\) : als fehlerhaft eingestufter Bildschirm
Um sich den Sachverhalt erst einmal klar zu machen, zeichnen wir das Ganze in einem Baumdiagramm auf. Alle fehlerfreien Bildschirme werden auch als fehlerfrei eingestuft. Also ist \(P_F(E)=1\). Daraus ergeben sich die restlichen Werte des oberen Teils des Baumes.
Nun wird aus den als fehlerfrei eingestuften Bildschirmen einer ausgewählt. Wir fahren also fort mit einem Baum, der mit den Einstufungen beginnt.
Die Wahrscheinlichkeiten für die Schnittmengen am Ende der Pfade sind in beiden Baumdiagrammen jeweils gleich.
\( \begin{align} P(F) \cap P(E) & = 0{,}8 = P(E) \cap P(F) \\[6pt] P(F) \cap P(\overline{E}) & = 0 = P(\overline{E}) \cap P(F) \end{align} \\ \)
Weiter gilt, dass ein Bildschirm von den als fehlerfrei eingestuften Bildschirm zu maximal 5% fehlerhaft ist. Damit wir einen geringstmöglichen Wert für \(x\) erhalten, müssen wir auch mit den vollen 5% arbeiten. Es ist also
\( P_E(\overline{F}) =0{,}05\\ \)
Daraus folgt
\( P_E(F) = 1-0.05 = 0{,}95\\ \)
Weiter ergibt sich
\( \begin{align} P(E) \cdot 0{,}95 & = 0{,}8 \bigl| \; : 0{,}95 \\[6pt] P(E) & = 0{,}8421 \\[6pt] x & = 0{,}8421 \\[6pt] x & = 84{,}21 \% \end{align} \)
\(\\\)