Hängebrücke
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Höhe der Hängebrücke
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – größte Höhe der Hängebrücke
Die Höhe der Hängebrücke wird ermittelt durch die Differenz der Funktionen \(g\) und \(f\) mit der Differenzfunktion \(d\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } d(x) & = & g(x) - f(x) \\[6pt] d(x) & = & 0{,}2x^2 - 0{,}1x + 0{,}2 - \left(0{,}4x^3 - 0{,}12x^2 - 0{,}18x + 0{,}2\right) \\[6pt] d(x) & = & 0{,}2x^2 - 0{,}1x + 0{,}2 - 0{,}4x^3 + 0{,}12x^2 + 0{,}18x - 0{,}2 \\[6pt] d(x) & = & - 0{,}4x^3 + 0{,}32x^2 + 0{,}08x \\ \end{array} \)
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Für die maximale Höhe berechnen wir den Hochpunkt.
notwendige Bedingung: \(d'(x)=0\)
\( \quad \begin{array}{ r c l } d'(x) & = & -1{,}2x^2 + 0{,}64x + 0{,}08 \\[6pt] 0 & = & -1{,}2x^2 + 0{,}64x + 0{,}08 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Mit dem Taschenrechner erhalten wir
\( \quad \begin{array}{ c c c c } x_1 & = & \frac{4 + \sqrt{31}}{15} & \approx 0{,}63785 \\[6pt] x_2 & = & \frac{4 - \sqrt{31}}{15} & \approx -0{,}10452 \\ \end{array} \)
\(\\\)
\(-0{,}10452\) liegt außerhalb des Tals. Also kommt nur \(0{,}63785\) infrage. Wir überprüfen die 2. Ableitung mit der
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hinreichenden Bedingung: \(d''(x)=0\)
\( \quad \begin{array}{ c*{3}{c} } d''(x) & = & -2{,}4x + 0{,}64 \\[6pt] d''(0{,}63785) & = & -0{,}89084 < 0 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Es liegt bei \(x=0{,}63785\) ein Hochpunkt vor. Wir berechnen die Höhe mit
\( \quad d(0{,}63785) = - 0{,}4 \cdot 0{,}63785^3 + 0{,}32\cdot 0{,}63785^2 + 0{,}08\cdot 0{,}63785 = 0{,}077 \)
\(\\\)
Wir haben also ca. \(640 \;m\) vom Punkt \(A\) entfernt eine maximale Höhe der Hängebrücke über dem Boden von \(77 \; m\) .
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Länge L
Für die Hängebrücke gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l } a & = & 0 \\[6pt] b & = & 1 \\[6pt] g'(x) & = & 0{,}4x -0{,}1 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Also ist
\( \quad L = \displaystyle{\int}_0^1 \sqrt{1+ \big(0{,}4x -0{,}1\big)^2}dx = 1{,}0115 \)
\(\\\)
Das heißt, dass die Hängebrücke \(1 \; km\) und \(11{,}5 \; m\) lang ist.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Ungleichung
An einer Stelle x=b ergibt sich folgende Darstellung:
\(\\\) Wir erhalten dann ein rechtwinkliges Dreieck mit der Strecke \(\overline{AC}\) als Hypothenuse. Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
\( \quad \begin{array}{ c c l l } (\overline{AC})^2 & = & b^2 + \big(g(b) - g(0)\big)^2 & \bigl| \sqrt{\dots} \\[6pt] \overline{AC} & = & \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2} & \\ \end{array} \)
\(\\\)
Das heißt, das
\( \quad \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2} \)
\(\\\)
eine geradlinige Verbindung von \(A\) nach \(C\) für alle \(0 < b\leq 1\) ist.
Da \(g\) eine quadratische Funktion ist und sein Graph einen parabelförmigen Verlauf aufweist, ist die Länge seines Verlaufs ausgedrückt mit
\( \quad \displaystyle{\int}_0^b \sqrt{1+ \big(0{,}4x -0{,}1\big)^2}dx \)
\(\\\)
stets größer als
\( \quad \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2} \)
\(\\\) für alle \(0 < b\leq 1\) .
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