Aufgaben
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
“Glukose”
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit
\( \displaystyle{f(x) = - \frac{1}{10^6}x^4 + \frac{4}{9375}x^3 - \frac{13}{250}x^2 + \frac{8}{5}x+140, \quad x \in \mathbb{R}} \)
\(\\[1em]\)
Punktbestimmung
- Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen \(f\) und bestimmen Sie die Art der Extrempunkte.
[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind 20, 100 und 200]
(5 P)
\(\\\)
- Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen \(f\) mit der \(y\)-Achse an.
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass \(f\) genau zwei Nullstellen hat.(4 P)
\(\\\)
- Für \(50 < x < 130\) gibt es ein paar von \(x\)-Werten, die sich um 60 unterscheiden und für die die zugehörigen Funktionswerte übereinstimmen.
Bestimmen Sie dieses Paar von \(x\)-Werten und geben Sie den zugehörigen Funktionswert an.(4 P)
\(\\[1em]\)
Fläche
Der Graph von \(f\) schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung \(x = 240\) ein Flächenstück ein.
- Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die parallel zur \(y\)-Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.
(4 P)
\(\\\)
Für jedes \(x\) mit \(0 < 240\) ist durch \(A(0|0)\), \(B_x(x|0)\) und \(C_x\left(x|f(x)\right)\) ein Dreieck \(AB_xC_x\) gegeben.
Ferner ist die Funktion \(d\) mit
\( \quad d(x) = \frac{1}{2}x \cdot f(x) \)
\(\\\) gegeben. Die Gleichung \(d'(x) = 0\) hat genau eine Lösung \(u\) mit \(0 < u < 240\).
\(\\\)
- Berechnen Sie \(d(u)\).
(2 P)
\(\\\)
- Erläutern Sie die geometrische Bedeutung der Funktionswerte \(d(x)\). Untersuchen Sie die besondere Bedeutung des Wertes \(d(u)\) in diesem Zusammenhang.
(4 P)
\(\\[1em]\)
Glukosewerte
Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mithilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d. h. die Glukosekonzentration im Blut, ständig zu messen.
Die oben gegebene Funktion \(f\) beschreibt für \(0 \leq x \leq 240\) modellhaft die Entwicklung des Glukosewertes des Patienten. Dabei ist \(x\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Teit in Minuten und \(f(x)\) der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter \(\left( \frac{mg}{dl}\right)\). Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f\).
\(\\\)
- Hohe Glukosewerte über längere Zeit gelten als Risikofaktor. Ermitteln Sie anhand der Grafik für den betrachteten Zeitraum, wie lange Glukose über \(170 \; \frac{mg}{dl}\) gemessen werden kann.
(3 P)
\(\\\)
- Berechnen Sie für \(0 \leq x \leq 240\) denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am stärksten ansteigt.
(4 P)
\(\\\)
- Ermitteln Sie rechnerisch für \(0 \leq x \leq 240\), wie lange die momentane Änderungsrate des Glukosewerts insgesamt zwischen \(-0{,}3 \; \frac{mg}{dl}\) pro Minute und \(0{,}3 \; \frac{mg}{dl}\) pro Minute lag.
(4 P)
\(\\[1em]\)
Funktionenschar
Zum Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt der Patient Traubenzucker zu sich. Die anschließende Entwicklung des Glukosewerts soll im Modell mithilfe einer Funktion \(g\) beschrieben werden, die folgende Bedingung erfüllt:
Die beiden Werte, die das Modell zum Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn für den Glukosewert und für dessen momentane Änderungsrate liefert, sollen unabhängig davon sein, ob sie mithilfe der Funktion \(f\) oder mithilfe der Funktion \(g\) ermittelt werden.
\(\\\) Zur Bestimmung eines Funktionsterms von \(g\) sollen zunächst die den Funktionen \(h_k\) mit
\( \quad h_k(x) = 50 -50 \cdot (k \cdot x + 1)^2 \cdot e^{-k \cdot x} \quad \text{mit} \quad k>0 \quad , \quad x \in \mathbb{R} \)
betrachtet werden.
\(\\\)
- Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass die momentane Änderungsrate, die sich unter Verwendung von \(h_k\) für den Zeitpunkt 0 ergibt, mit der momentanen Änderungsrate übereinstimmt, die für \(f\) für den Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn liefert.
(2 P)
\(\\\)
- Die für die Funktion \(g\) angegebene Bedingung lässt sich erfüllen, wenn der Graph von \(g\) durch eine geeignete Verschiebung aus dem Graphen von \(h_k\) für \(k= \frac{308}{3125}\) hervorgeht.
Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie einen Funktionsterm von \(g\) an.
(4 P)
\(\\[2em]\)