Funktion d
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – BHD geringer als 70 cm
Wir definieren zunächst \(d\).
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Es ist zu erkennen, dass
\( \quad \frac{e^{\frac{t + 125}{40}}}{e^{\frac{t + 125}{40}} + 250} \)
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stets kleiner als \(1\) ist, da
\( \quad e^{\frac{t + 125}{40}}<e^{\frac{t + 125}{40}} + 250 \)
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ist für alle positiven \(t\)-Werte. Ferner muss der Graph des Terms
\( \quad \frac{e^{\frac{t + 125}{40}}}{e^{\frac{t + 125}{40}} + 250} \)
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über dem ganzen Definitionsbereich monoton steigend sein, da er nur aus \(e\)-Funktionen mit positivem Vorzeichen besteht. Das bedeutet, dass nur der größte Wert für \(t\) Funktion \(d\) maximal werden lässt. wir überprüfen nun den rechten Rand des Definitionsbereichs.
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Nur wenn nahezu unendlich viel Zeit verstreicht, bis die Fichte die Brusthöhe erreicht hat, würde der BHD \(70 \; cm\) betragen. Dies ist aber schlichtweg unmöglich. Denn wenn die Fichte in \(100\) Jahren die \(1{,}3 \; m\) noch nicht erreicht hat, ist sie wohl abgestorben.
Daraus folgt, dass der BHD stets unter \(70 \; cm\) bleibt.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Graph
Wir können diesen Graphen zeichnen, indem wir die Funktion \(d\) und \(h\) miteinander verknüpfen. Wir gehen dazu in den Arbeitsbereich \(Graph\) und geben die Funktionen ein.
Da sowohl \(d\) als auch \(h\) abhängig von \(t\) sind, was im Arbeitsbereich Graph nicht erlaubt ist, müssen diese Funktion in Abhängigkeit von × z. B. als \(r(x)\) und \(s(x)\) umdefiniert werden. Dazu markieren wir die Definition von \(d\).
Mit \(\boxed{ctrl}\) \(\boxed{enter}\) kopieren wir das Ganze hinunter und schreiben \(d\) in \(r\) und \(t\) in \(x\) um.
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Entsprechend wird \(h(t)\) in \(s(x)\) umdefiniert. Nun können die beiden Funktionen in den Arbeitsbereich Graph eingetragen werden.
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Über das \(\boxed{menu}\) können wir uns die Wertetabelle anzeigen lassen.
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Mit Pfeil rechts
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ist die andere Wertetabelle zu sehen.
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Der Graph kann nun gezeichnet werden mit den \(s\)-Werten als \(x\)-Koordinate und den \(r\)-Werten als \(y\)-Koordinate. Bis hier hin ist die Aufgabe erfüllt.
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Darüber hinaus kann noch folgende Frage geklärt werden:
Kann der Graph von der Funktion für die Funktionsgleichung von \(d(h)\) mit dem CAS graphisch dargestellt werden?
Ja, das geht schon. Allerdings muss man da etwas tricksen. Wir bilden dazu die verkettete Funktion \(d \big(t (h) \big)\) aus den Funktionen \(d(t)\) und \(t(h)\). Es muss also folgende Umformung gemacht werden muss:
\( \quad h(t) \quad \longrightarrow \quad t(h) \)
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Das heißt nun, dass bei dem Graphen der Funktion die Achsen vertauscht werden müssen,
also die Umkehrfunktion von \(h\) gebildet werden muss. Um bei der Umkehrfunktion mit den bisherigen Definitionen nicht in Konflikt zu kommen, nehmen wir als neue Variable von \(t\) die Variable \(u\). Wir bilden nun die Umkehrfunktion:
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Wir nehmen nun den Term von \(u\) und setzen ihn bei der Definition von \(d\) für\(t\) ein, wobei wir die neue Funktion \(d\) mit der Variable \(v\) belegen.
Wir nehmen also die Definition von \(d\)
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und setzen dort für \(t\) den Term von \(u\) ein. Dabei soll die neue Funktion von \(d\) nun \(v\) heißen.
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\(v(x)\) ist nun die Funktion \(d \big(t (h) \big)\). Wir schreiben sie in den Arbeitsbereich Graph.
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Wir können der Wertetabelle von \(s\) entnehmen, dass die Höhe der Fichte im Alter von \(15\) Jahre ca. \(2 \; m\) und im Alter von \(80\) Jahren ca. \(48 \; m\) ist. Der BHD ist im Alter von \(80\) Jahren \(28{,}15 \; cm\).
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Über \(\boxed{menu}\) gehen wir auf die Fenstereinstellungen
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und stellen diese Werte ein.
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Es erscheint folgender Graph.
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