HMF 4 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Tangentensteigung
\(\quad\)
Die Steigung der Tangente an einem Graphen wird berechnet mit der 1. Ableitung an einer Stelle \(x\), hier mit \(m= f'(1)\).
Wir bilden die 1. Ableitung
\( \quad \begin{align} f(x) & = -x^3 + 3x^2 - 2x \\[5pt] f'(x) & = -3x^2 + 6x - 2 \end{align} \\ \)
und setzen \(x=1\) ein.
\( \quad \begin{align} f'(1) & = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 2 \\[5pt] f'(1) & = 1 \\[5pt] m & = 1 \end{align} \\ \)
Aufgabe 2 – Schnittpunkte
Ist die Steigung positiv, so muss die Gerade im farbigen Bereich liegen.
Dabei gilt:
Geht eine Gerade
- durch den roten Bereich mit \(m > 1\), so gibt es 1 Schnittpunkt
- durch den grünen Bereich mit \(0 \leq m \leq 1\), so gibt es 3 Schnittpunkte
mit dem Graphen \(G_f\).
Mit der Steigung \(m=1\) erhalten wir genau die Tangente, die ja einen Schnittpunkt, den Wendepunkt, hat.
\(\\\)