Funboard
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Länge des Funboards
Die Definition der Funktion \(g\) lautet
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Die Nullstellenstellen berechnen wir mit dem \(solve\)-Befehl.
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Damit hat das Funboard eine Länge von \(2 \; m\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Verhalten von × strebt gegen 2
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Das Verhalten für \(x \rightarrow 2\) berechnen wir mit einem Werkzeug aus den Vorlagen.
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Das Verhalten für \(x \rightarrow 2\) ist nicht definiert. Um das näher zu untersuchen, betrachten wir die 1. Ableitung von \(g\).
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\(x=2\) eingesetzt in den Term ergibt für den Nenner
\( \quad \sqrt{-2 \cdot (2-2)}=\sqrt{-2 \cdot 0} = 0 \)
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\(x=2\) ergibt demnach einen Term in der Form
\( \quad \frac{-0{,}3 \cdot 1}{0} \)
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Der Nenner ist hier Null, was nicht sein darf. Denn durch Null teilen ist nicht definiert. Als Grenzwert könnte die Schreibweise
\( \quad \lim \limits_{x \to 0}\frac{-0{,}3 \cdot 1}{x} \)
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genommen werden. Geht \(x\) nun immer näher an Null heran, wird der Betrag des Bruches immer größer. Es gilt also
\( \quad \lim \limits_{x \to 0}\frac{-0{,}3 \cdot 1}{x} = - \infty \)
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Das bedeutet im Sachzusammenhang, dass die Tangente bei \(x=2\) lotrecht zur \(x\)-Achse liegt oder anders ausgedrückt, dass sie parallel zur \(y\)-Achse ist. Entsprechend wäre es für den Graphen unterhalb der \(x\)-Achse. Es entsteht also beim Übergang vom oberen Graphen zum unteren Graphen kein Knick. Das Surfbrett hat am rechten Ende eine perfekte Rundung. Das gleiche gilt für die linke Seite, denn der Term von \(g\) mit
\( \quad 0{,}3 \cdot\sqrt{1 - (x-1)^2} \)
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ist die Formel für eine vom Ursprung verschobenen Halbellipse. Das heißt, dass das Funboard sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung symmetrisch ist.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Hälfte der Gesamtfläche
Die obere Hälfte der gefärbten Fläche ist zusammengesetzt aus einem rechtwinkligen Dreieck und einer Fläche zwischen dem Graphen von \(g\) und der \(x\)-Achse. Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks sind zum einen auf der \(x\)-Achse die Länge von \(0{,}75\) und \(b\) und zum anderen der Höhe mit \(g(b)\). Die andere Fläche kann mit dem Integral von \(b\) bis \(2\) berechnet werden.
Es gilt die Gleichung
\( \quad \frac{(b-0{,}75) \cdot g(b)}{2} + \displaystyle{\int}_b^2 g(x) dx = \frac{1}{2} \cdot \displaystyle{\int}_b^2 g(x) dx \)
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Die Berechnung erfolgt mit dem \(solve\)-Befehl.
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Der \(y\)-Wert von \(Q\) ist
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Es ergibt sich \(Q(1{,}2403 \, | \, 0{,}29121)\).
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