Punkte und Viereck
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Punkt G und S
Wir lesen die Punkte \(G(5|5|0)\) und \(S(0|5|5)\) ab.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Viereck einzeichnen
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Trapez
Ein Trapez zeichnet sich dadurch aus, dass 2 gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind und die anderen beiden Seiten nicht parallel zueinander sind. Wir prüfen, ob das bei dem Viereck zutrifft.
\( \quad \begin{align} \vec{AD} &= \vec{d} - \vec{a} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{BC} &= \vec{c} - \vec{b} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)
\(\\\)
Sind die Seiten \(\overline{AD}\) und \(\overline{BC}\) parallel, so gilt:
\( \quad \begin{align} \vec{AD} & = r \cdot \vec{BC} \\[8pt] \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-4 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right)\end{smallmatrix} &= r \cdot \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-2 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \quad \Rightarrow \; r=2 \end{align} \)
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Es gibt also eine Lösung der Gleichung mit \(r=2\) . Damit sind die Seiten parallel zueinander.
\(\\\) Weiter mit den Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) :
\( \quad \begin{align} \vec{AB} & = \vec{b} - \vec{a} = \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}2 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right)\end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}5 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r}-3 \\ 5 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{DC} & = \vec{c} - \vec{d} = \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}0 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right)\end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}1 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right)\end{smallmatrix} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r}-1 \\ 5 \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)
\(\\\)
Für die Parallelität gilt die Gleichung:
\( \quad \begin{align} \vec{AB} & = s \cdot \vec{DC} \\[8pt] \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-3 \\ 5 \\ -1 \end{array}\right)\end{smallmatrix} & = s \cdot \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-1 \\ 5 \\ -3 \end{array}\right)\end{smallmatrix} \end{align} \)
\(\\\) \( \quad \begin{align} \textrm{I} && -3 & = -s && | \; \cdot (-1) \\[6pt] \textrm{II} && 5 & = \; 5s && | \; : 5 \\[6pt] \textrm{III} && -1 & = -3s && | \; : (-3) \end{align} \)
\(\\\) \( \quad \left. \begin{array}{ r c l } \textrm{I} && 3 = s \\ \textrm{II} && 1 = s \\ \textrm{III} && \frac{1}{3} = s \\ \end{array} \right\} \quad \textit{keine eindeutige L}\ddot{o}\textit{sung f}\, \ddot{u}\textit{r } s \)
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Haben wir keine eindeutige Lösung der Gleichung, so sind diese Vektoren nicht parallel zueinander. Das Viereck hat folglich nur 1 Paar parallele Seiten. Damit muss das Viereck ein Trapez sein.
\(\\\) Die Länge der Vektoren berechnen wir mit dem Betrag der Vektoren:
\( \quad \left. \begin{array}{ l} \bigl|\vec{AB}\bigl| \; = \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-3 \\ 5 \\ -1 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \end{vmatrix} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-1)^2} = \sqrt{35} \\[8pt] \bigl|\vec{DC}\bigl| \; = \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-1 \\ 5 \\ -3 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \end{vmatrix} = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{35} \\ \end{array} \right\} \; \textit{gleich} \)
\(\\\) \( \quad \left. \begin{array}{ l } \bigl| \vec{AD} \bigl| \; = \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-4 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \end{vmatrix} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{32} \\[8pt] \bigl| \vec{BC} \bigl| \; = \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-2 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \end{vmatrix} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} \\ \end{array} \right\} \; \textit{nicht gleich} \)
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Die beiden nicht parallelen Seiten sind gleich lang. Damit handelt es sich bei dem Viereck \(ABCD\) um ein symmetrisches Trapez.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Fläche
Die Formelsammlung bietet für die Fläche eines Trapezes die Formel
\( \quad A = \frac{a + c}{2} \cdot h \)
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an. Die Formel bezieht sich auf folgende Benennung der Seiten:
\(\\\) Da es sich bei dem Viereck \(ABCD\) um ein symmetrisches Trapez handelt,
\(\\\) kann die Höhe als die Verbindungslinie der Mittelpunkte der oberen und der unteren Seite betrachtet werden. Zunächst die Ortsvektoren der Mittelpunkte:
\( \quad \begin{align} \vec{m_{CB}} & = \vec{OM_{CB}} \\[6pt] & = \vec{OC} + \tfrac{1}{2} \vec{CB} \\[6pt] & = \vec{c} + \tfrac{1}{2} \left( \vec{b} - \vec{c} \right) \\[8pt] & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r}0 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \tfrac{1}{2} \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r}2 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \\[10pt] & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r}0 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \tfrac{1}{2} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \\[10pt] & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[10pt] & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)
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\( \quad \begin{align} \vec{m_{AD}} & = \vec{OM_{AD}} \\[6pt] & = \vec{OA} + \tfrac{1}{2} \vec{AD} \\[8pt] & = \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}5 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\end{smallmatrix} + \tfrac{1}{2} \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-4 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[10pt] & = \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}5 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-2 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \\[10pt] & = \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}3 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \end{align} \)
\(\\\)
Wir berechnen die Höhe mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } \bigl|\vec{m_{AD}m_{CB}}\bigl| & = & \bigl|\vec{m_{CB}}-\vec{m_{AB}}\bigl| \\[8pt] & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}1 \\ 5 \\ 1 \end{array} \right)\end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}3 \\ 0 \\ 3\end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[10pt] & = & \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-2 \\ 5 \\ -2 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[10pt] & = & \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + (-2)^2} \\[8pt] & = & \sqrt{33} \end{array} \)
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Nun alles in die Trapezformel einsetzen:
\( \quad \begin{array}{ r c l } A & = & \frac{\bigl|\vec{AD}\bigl| + \bigl|\vec{BC}\bigl|}{2} \cdot \bigl|\vec{m_{AD}m_{CB}}\bigl| \\[10pt] & = & \frac{\sqrt{32} + \sqrt{8}}{2} \cdot \sqrt{33} \\[8pt] & \approx & 24{,}37 FE \\ \end{array} \)
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