Aufgaben

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\(\\\)

“Hängebrücke”

Zwischen zwei Orten \(A\) und \(B\) befindet sich ein Tal mit einem tiefsten Punkt \(T\). Der Querschnitt des Tals kann durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\) dritten Grades beschrieben werden, wobei \(f(x)\) die Höhe über dem Meeresspiegel in Kilometern angibt. In der dargestellten Abbildung entspricht eine Einheit einem Kilometer in der Wirklichkeit. Die Orte \(A\) und \(B\) sowie der Tiefpunkt \(T\) haben die Koordinaten \(A(0|0{,}2)\), \(B(1|0{,}3)\) und \(T(0{,}5|0{,}13)\)

\(\quad\)

\(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad\) Abbildung ausdrucken

\(\\[1em]\)

Funktion f

1. Leiten Sie eine Gleichung der Funktion \(f\) her.

   (5 P)

\(\quad\) Verwenden Sie im Folgenden

\( \qquad f(x) = 0{,}4x^3 - 0{,}12x^2 - 0{,}18x + 0{,}2 \)

\(\\\)

2. Bestimmen Sie die Stelle, an der der Querschnitt des Tals eine Höhe von \(240\) m über dem Meeresspiegel aufweist, und bestimmen Sie die Steigung an dieser Stelle.

   (2 P)

\(\\\)

3. Eine Person wandert von \(A\) nach \(T\) . Bestimmen Sie das durchschnittliche und das maximale Gefälle auf diesem Weg.

   (7 P)

Lösung

\(\\[1em]\)

Funktion g

Als Touristenattraktion soll zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) eine Hängebrücke errichtet werden. Der Verlauf der Hängebrücke kann durch den Graphen einer Funktion \(g\) mit

\( \quad g(x) = 0{,}2x^2 - 0{,}1x + 0{,}2 \)

beschrieben werden.

\(\\\)

1. Ergänzen Sie die Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen in die obige Abbildung ein.

(4 P)

\(\\\)

2. Berechnen Sie den Winkel \(\alpha\) zwischen dem Verlauf der Hängebrücke und dem Querschnitt des Tals im Punkt \(B\) .

   (3 P)

Lösung

\(\\[1em]\)

Hängebrücke

1. Es gibt Punkte auf der Hängebrücke, deren Höhe über dem Boden \(50\) m beträgt. Zeichnen Sie diese Punkte in die obige Abbildung ein.

   (2 P)

\(\\\)

2. Ermitteln Sie rechnerisch die größte Höhe der Hängebrücke über dem Boden.

   (5 P)

\(\\\)
\(\quad\) Die Länge \(L\) des Graphen der Funktion \(g\) über dem Intervall [a;b] kann durch

\( \qquad L = \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(g'(x)\big)^2}d \)

\(\quad\) berechnet werden.

\(\\\)

3. Berechnen Sie die Länge der Hängebrücke.

   (2 P)

\(\\\)

4. Begründen Sie, dass

\( \qquad \displaystyle{\int}_0^b \sqrt{1+ \big(g'(x)\big)^2}dx > \sqrt{b^2+ \big(g(b) - g(0)\big)^2} \quad \textit{f } \ddot{u}\textit{r alle} \quad 0 < b \leq 1 \)

gilt.

(3 P)

Lösung

\(\\[2em]\)

Funktion h

Auch die Funktion \(h\) mit

\( \quad h(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(e^x + e^{-x}\right) \quad , \quad x \in \mathbb{R} \)

kann zur Beschreibung von Hängebrücken verwendet werden.

Es gilt \( h''(x) = h(x) \).

\(\\\)

1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass

\( \qquad \big(h(x)\big)^2 - \big(h'(x)\big)^2 = 1 \)

gilt.

(4 P)

\(\\\)

2. Leiten Sie her, dass

\( \qquad \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1+ \big(h'(x)\big)^2}dx = h'(b) - h'(a) \)

ist.

Lösung

\(\\[2em]\)