HMF 7 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Term
Die Fläche des Dreiecks wird bestimmt mit
\( \quad A \; = \; \frac{g \cdot h}{2} \; = \; \frac{a \cdot f(a)}{2} \; = \; \frac{a \cdot a \cdot e^{-a}}{2} \; = \; \frac{1}{2} a^2 e^{-a} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Wert a
Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bekommen, verwenden wir die Bedingungen der Extrempunktberechnung. Dafür benötigen wir zunächst die 1. Ableitung von
\( \quad A(a) \; = \; \frac{1}{2} a^2 e^{-a} \; = \; u \cdot v \)
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Mit der Produkt- und Kettenregel gilt
\( \quad \begin{array}{ c l } A'(a) & = \; u' \cdot v \; + \; u \cdot v' \\[24pt] & \textit{Nebenrechnung 1 } \\[6pt] & u \; = \; \frac{1}{2}a^2 \\[6pt] & u' \; = \; a \\[6pt] & v \; = \; e^{-a} \; = \; g\Big(h(a)\Big) \\[24pt] & \; \qquad \textit{Nebenrechnung 2 } \\[6pt] & \; \qquad h(a) \; = \; - a \\[6pt] & \; \qquad h'(a) \; = \; - 1 \\[6pt] & \; \qquad g(a) \; = \; e^h \\[6pt] & \; \qquad g'(a) \; = \; e^h \\[6pt] & \; \qquad g'\Big(h(a)\Big) \; = \; e^{-a} \\[24pt] & v' \; = \; h'(a) \cdot g'\Big(h(a)\Big) \; = \; - 1 \cdot e^{-a} \; = \; - e^{-a} \\[24pt] A'(a) & = \; a \cdot e^{-a} + \frac{1}{2}a^2 \cdot \left( - e^{-a}\right) \\[6pt] A'(a) & = \; a \cdot e^{-a} - \frac{1}{2}a^2 \cdot e^{-a} \\[6pt] A'(a) & = \; \left( a - \frac{1}{2}a^2 \right) \cdot e^{-a} \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
notwendige Bedingung
\( \qquad A'(a)=0 \)
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\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & \left( a - \frac{1}{2}a^2 \right) \cdot e^{-a} & \textrm{mit} \quad e^{-a} \; \not= \; 0\\[6pt] 0 & = & a - \frac{1}{2}a^2 \\[6pt] 0 & = & a \cdot \left( 1 - \frac{1}{2}a \right) \\[24pt] a_1 & = & 0 \quad \textrm{und} \\[6pt] 0 & = & 1 - \frac{1}{2}a_2 & | \; + \frac{1}{2}a_2 \\[6pt] \frac{1}{2}a_2 & = & 1 & | \; \cdot 2 \\[6pt] a_2 & = & 2 \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
hinreichende Bedingung
\( \qquad A''(a) \not= 0 \)
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\( \quad \begin{array}{ c l } A'(a) & = \; \left( a - \frac{1}{2}a^2 \right) \cdot e^{-a} \; = \; u \cdot v \\[24pt] A''(a) & = \; u' \cdot v \; + \; u \cdot v' \\[24pt] & \textit{Nebenrechnung} \\[6pt] & u \; = \; a - \frac{1}{2}a^2 \\[6pt] & u' \; = \; 1 - a \\[6pt] & v \; = \; e^{-a} \\[6pt] & v' \; = \; - e^{-a} \quad (\textit{siehe oben}) \\[24pt] A''(a) & = \; (1 - a) \cdot e^{-a} + \left( a - \frac{1}{2}a^2 \right) \cdot \left( - e^{-a}\right) \\[6pt] A''(a) & = \; (1 - a) \cdot e^{-a} \; + \left( - a + \frac{1}{2}a^2 \right) \cdot e^{-a} \\[6pt] A''(a) & = \; \left( 1 - a - a + \frac{1}{2}a^2 \right) \cdot e^{-a} \\[6pt] A''(a) & = \; \left( 1 - 2a + \frac{1}{2}a^2 \right) \cdot e^{-a} \\[24pt] A''(0) & = \; \left( 1 - 2 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^2 \right) \cdot e^{0} \\[6pt] A''(0) & = \; 1 \cdot 1 \\[6pt] A''(0) & = \; 1 \; > \; 0 \\[24pt] A''(2) & = \; \left( 1 - 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2^2 \right) \cdot e^{-2} \\[6pt] A''(2) & = \; - 1 \cdot e^{-2} \\[6pt] A''(2) & = \; - \frac{1}{e^2} \; < \; 0 \\[24pt] & \Rightarrow \; a \; = \; 2 \\ \end{array} \)
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