Wachstum eines Blauwals
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Körperlänge des Blauwals
Die Funktion der Körperlänge ist eine Stammfunktion von der Funktion der Wachstumsrate \(w\). Wir definieren zunächst Funktion \(w\).
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Wir bilden eine Stammfunktion von \(w\) und nennen die Aufleitung \(a\). Es gilt
\( \quad a(x) \; = \; \int w(x) dx \; , \)
wobei das Integralsymbol unter \(\boxed{Math2}\) zu finden ist.
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Wir definieren \(a\).
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Funktion \(a\) ist nun noch nicht die richtige Stammfunktion, denn es gilt ja noch, dass die Körperlänge des Blauwals bei der Geburt \(6 \; m\) beträgt. Die richtige Stammfunktion \(s\) ist nun
\( \quad s(x) \; = \; a(x) + C \)
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Wir berechnen die Konstante \(C\) wie folgt:
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Wir definieren nun \(s\)
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und berechnen die Körperlänge des Blauwals nach \(8 \; Jahren\).
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Der Blauwal ist nach \(8\) Jahren ungefähr \(21{,}8 \; m\) lang.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – permanentes Wachstum
Wir betrachten nun die Graphen der Wachstumsrate \(w\) und der Körperlänge \(s\). Dazu lassen wir uns \(s\) erst einmal anzeigen.
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Wir kopieren nun diesen Term und auch den von \(w(x)\)
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mit \(\boxed{Edit}\) \(\boxed{Copy}\)
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in den Graphikbereich
\(\\\)
und fügen sie mit \(\boxed{Edit}\) \(\boxed{Paste}\)
\(\\\) ein.
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Wir aktivieren beide Funktionen und setzen das Häkchen.
Um die Graphen anzusehen passen wir mit
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das Anzeigefenster an. Wir wählen mit \(x\) von \(0\) bis \(20\) und \(y\) von \(0\) bis \(30\)
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und lassen wir uns die Graphen anzeigen.
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Betrachten wir die Länge des Wals (roter Graph) und seine Wachstumsrate (blauer Graph), so ist zu erkennen, dass die Körperlänge des Blauwals permanent zunimmt.
Das heißt, das die Wachstumsrate für alle \(x\) positiv sein muss. Es gilt also
\(\\\) \(x=x\) heißt nun, dass es für alle \(x\)-Werte wahr ist und die Körperlänge des Blauwals ständig zunimmt.
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Nun prüfen wir, ob für große Werte von \(x\) die Körperlänge unter \(29 \; m\) bleibt.
Das Limes-Symbole finden wir in \(\boxed{Math2}\).
\(\\\) Beide Bedingungen sind erfüllt. Basierend auf der Funktion \(w\) kann der Blauwal nie eine Körperlänge von \(29 \; m\) erreichen.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – ausgewachsener Blauwal
Wir lösen folgende Gleichung:
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Mit nahezu \(11 \; Jahren\) ist der Blauwal ausgewachsen.
\(\\\)