Kugel und Pyramide
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Kugel
Mit (mindestens) 3 Punkten und dem Radius kann mit einem Gleichungssystem die Kugelgleichung bestimmt werden. Wir nehmen dazu die allgemeine Kugelgleichung
\( \quad \begin{array}{ c } K : (x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2 \\ \end{array} \)
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und setzen jeweils die Punkte \(Q(5|0|5)\), \(R(5|5|5)\), \(S(0|5|5)\) und den Radius \(r=\sqrt{\frac{33}{2}}\) ein.
\( \quad \begin{array}{ c r c l } \textrm{I} & (5 - m_1)^2 + (0 - m_2)^2 + (5 - m_3)^2 & = & \frac{33}{2} \\[8pt] \textrm{II} & (5 - m_1)^2 + (5 - m_2)^2 + (5 - m_3)^2 & = & \frac{33}{2} \\[8pt] \textrm{III} & (0 - m_1)^2 + (5 - m_2)^2 + (5 - m_3)^2 & = & \frac{33}{2} \\ \end{array} \)
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Aufgelöst ergibt sich
\( \quad \begin{array}{ c c c c c c c c c c c c c c c c c c c l } \textrm{I} & \, 25 & - & 10m_1 & + & m_1^2 &&&&& + & m_2^2 & + & 25 & - & 10m_3 & + & m_3^2 & = & \frac{33}{2} \\[8pt] \textrm{II} & \, 25 & - & 10m_1 & + & m_1^2 & + & 25 & - & 10m_2 & + & m_2^2 & + & 25 & - & 10m_3 & + & m_3^2 & = & \frac{33}{2} \\[8pt] \textrm{III} & &&&& m_1^2 & + & 25 & - & 10m_2 & + & m_2^2 & + & 25 & - & 10m_3 & + & m_3^2 & = & \frac{33}{2} \\ \end{array} \)
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Mithilfe des Subtraktionsverfahrens ergeben sich
\( \quad \begin{array}{ c c c c c } \textrm{IV} & = & \textrm{I} & - & \textrm{II} \\[6pt] \textrm{V} & = & \textrm{II} & - & \textrm{III} \\ \end{array} \)
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mit
\( \quad \begin{array}{ c r c c c c } \textrm{IV} & \, - 25 & + & 10m_2 & = & 0 \\[8pt] \textrm{V} & \, 25 & - & 10m_1 & = & 0 \\ \end{array} \)
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Es folgen
\( \quad \begin{array}{ c c c } m_1 & = & 2{,}5 \\[6pt] m_2 & = & 2{,}5 \\ \end{array} \)
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\(m_1= 2{,}5\) und \(m_2= 2{,}5\) eingesetzt zum Beispiel in \(\textrm{I}\) liefert \(m_3\) :
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\( \quad \begin{array}{ r c l l } 25 - 10 \cdot 2{,}5 + 2{,}5^2 + 2{,}5^2 + 25 - 10m_3 + m_3^2 & = & \frac{33}{2} \\[8pt] m_3^2 - 10m_3 + \frac{75}{2} & = & \frac{33}{2} & | \, - \frac{33}{2} \\[8pt] m_3^2 - 10m_3 + 21 & = & 0 \\[10pt] m_{3_{1{,}2}} & = & - \frac{-10}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-10}{2} \right)^2-21} \\[8pt] m_{3_{1{,}2}} & = & 5 \pm \sqrt{4} \\[7pt] m_{3_1} & = & 7 \\[7pt] m_{3_2} & = & 3 \\ \end{array} \)
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Wir erhalten damit die beiden Kugelgleichungen
\( \quad \begin{array}{ c } K_1 : (x_1 - 2.5)^2 + (x_2 - 2.5)^2 + (x_3 - 7)^2 = \frac{33}{2} \\[8pt] K_2: (x_1 - 2.5)^2 + (x_2 - 2.5)^2 + (x_3 - 3)^2 = \frac{33}{2} \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Pyramide
Die Höhe der Pyramide, also die orthogonale Entfernung der Spitze, hier mit Punkt \(R\) gezeichnet, von der Grundfläche, ist an den verschiedenen Positionen unterschiedlich.
Sei \(p\) nun eine Gerade, auf der die Punkte der möglichen Pyramidenspitzen liegen und die Strecke \(\overline{QR}\) enthält. So gibt es eine Position auf \(p\) , in der die Höhe \(2\) beträgt. Diese Position kann allerdings auch außerhalb der Strecke \(\overline{QR}\) liegen. Dies gilt es nun zu prüfen.
Alle Punkte der Geraden \(p\) haben die Koordinaten \((5|y|5)\), wobei \(y\) ein Element der reellen Zahlen ist. Dabei gilt für alle Punkte auf der Strecke \(\overline{QR}\), dass \(0 \leq y \leq 5\) ist.
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Wir berechnen \(y\) mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene:
\( \quad Abstand = \biggl|\dfrac{ax_1 + bx_2 + cx_3 - d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \biggl| \)
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Wir setzen die Höhe \(2\), den Punkt und die Ebene ein. Dabei können wir die Betragsstriche weglassen, da der Punkt oberhalb der Ebene liegt. Das heißt, dass der Abstand positiv sein muss.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 2 & = & \dfrac{5 \cdot 5 + 4 \cdot y + 5 \cdot 5 - 30}{\sqrt{5^2 + 4^2 + 5^2}} & \\[10pt] 2 & = & \dfrac{5 \cdot 5 + 4y + 5 \cdot 5 - 30} {\sqrt{66}} & | \cdot \sqrt{66} \\[8pt] 2 \cdot \sqrt{66} & = & 4y + 20 & | \; : 4 \\[8pt] \frac{1}{2} \cdot \sqrt{66} & = & y + 5 & |\; - 5 \\[8pt] \frac{1}{2} \cdot \sqrt{66} - 5 & = & y & \\[6pt] y & \approx & -0{,}938& \\ \end{array} \)
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Wir erhalten als Lösung den Punkt \((5| -0{,}938|5)\), der außerhalb der Strecke \(\overline{QR}\) liegt. Danach kann die Höhe der Pyramide für jeden Punkt auf der Strecke \(\overline{QR}\) als Spitze der Pyramide nicht \(2\) sein.
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