Funktion p
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – prozentualer Anteil
Bei der Funktion p mit der Funktionsgleichung
\( \quad p(x) \; = \; 200 \cdot e^{-0{,}048x} \)
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handelt es sich um die Funktion \(e^x\), die in \(y\)-Richtung gestreckt, in \(x\)-Richtung gestaucht und zugleich um die \(y\)-Achse gespiegelt ist.
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Der Faktor \(200\) bewirkt hier eine Streckung in \(y\)-Richtung und gibt zugleich den \(y\)-Wert für \(x=0\) an.
Das heißt im Sachzusammenhang, dass am 26. April 1986, also zu Beginn der Beobachtung, \(200\) Milligramm Plutonium-241 vorhanden war.
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Die Funktion \(p\) lässt sich auch als Exponentialfunktion
\( \quad p(x) \; = \; 200 \cdot q^x \)
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mit dem Wachstums- und Zerfallsfaktor \(q\) beschreiben.
Mit dem 3. Potenzgesetz
\( \quad a^{m \cdot n} \; = \; \left(a^m\right)^n \)
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können wir nun \(q\) bestimmen.
\( \quad q^x \; = \; \left(e^{-0{,}048}\right)^x \qquad \Longrightarrow \quad q \; = \; e^{-0{,}048} \; \approx \; 0{,}9531 \)
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Mit
\( \quad q \; = \; 1 \, + \, \frac{p}{100} \)
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berechnen wir nun die Zerfallsrate \(p\) .
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 1 \, + \, \frac{p}{100} & = & 0{,}9531 & | - 1 \\[6pt] p & = & - 0{,}0469 & | \cdot 100 \\[6pt] p & = & - 4{,}69 \\ \end{array} \)
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Die Masse des Plutoniums nimmt jedes Jahr um \(4{,}69\%\) ab.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – weniger als 1 Prozent
\( \quad \begin{array}{ r c l l } p(x) & < & 1 & \\[6pt] 200 \cdot e^{-0{,}048x} & < & 1 & | : 200 \\[6pt] e^{-0{,}048x} & < & 0{,}005 & | \; ln \\[6pt] -0{,}048x & < & ln (0{,}005) & | : (-0{,}048) \quad \textrm{Vorzeichenwechsel !} \\[6pt] x & > & 110{,}38 \\ \end{array} \)
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Dabei sind
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 110{,}38 \; \textrm{Jahre} & = & 110 \; \textrm{Jahre und } 0{,}38 \cdot 12 \; \textrm{Monate} \\[6pt] & = & 110 \; \textrm{Jahre und } 4{,}56 \; \textrm{Monate} \\[6pt] & = & 110 \; \textrm{Jahre und } 4 \; \textrm{Monate und } 0{,}56 \cdot 30 \; \textrm{Tage} \\[6pt] & = & 110 \; \textrm{Jahre und } 4 \; \textrm{Monate und } 16{,}8 \; \textrm{Tage} \\ \end{array} \)
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Im Laufe des \(110. \; \textrm{Jahres}\) nach dem Reaktorunfall, also im \(\textrm{September} \; 2096\), ist weniger als \(1 \; \textrm{Milligramm}\) vorhanden.
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