2 Regentonnen


\(\\\)

In der Aufgabe gemeinsame Punkte der Graphen haben wir die Funktionen

\( \quad u(x) = (x -3) \cdot \left(x^2 - a \cdot x - \frac{a}{2}\right) \)

\(\\\) und

\( \quad v(x) = (x -3) \cdot \left(x^2 - b \cdot x - \frac{b}{2}\right) \)

\(\\\)

definiert, die wir für \(f_{k_1}\) und \(f_{k_2}\) verwenden können.

Wir wählen

\( \quad \begin{array}{ r c l } f_{k_1} & = & u(x) \\[6pt] f_{k_2} & = & v(x) \\ \end{array} \)

\(\\\)

mit

\( \quad \begin{array}{ r c l } k_1 & = & a \\[6pt] k_2 & = & b \\ \end{array} \)

\(\\\)

Wir definieren die Differenzfunktion \(d(x)\) :

my image

\(\\[2em]\)

Füllmengenunterschied

Der Füllmengenunterschied wird durch die Stammfunktion von \(d(x)\) beschrieben. Da die beiden Regentonnen zu Beginn der Beobachtung leer sind, ist \(c=0\) .

\( \quad D(x) = \displaystyle{\int} d(x) dx \)

\(\\[1em]\)

notwendige Bedingung

Für den maximalen Füllmengenunterschied gilt \(D'(x)=0\) . Da \(D'(x)=d(x)\) ist, erhalten wir also \(d(x)=0\) .

my image

\(\\\)

Mit \(a=k_1\) und \(b=k_2\) sowie der Voraussetzung \(k_1< k_2\) ist \(a-b=0\) ausgeschlossen. Ferner liegt \(x=-\frac{1}{2}\) vor dem Beobachtungsbeginn. Zu überprüfen bleibt also nur \(x=3\).

\(\\[1em]\)

hinreichende Bedingung

Neben der notwendigen Bedingung muss für den maximalen Füllmengenunterschied gelten, dass \(D''(x)=d'(x)<0\) ist.

my image

\(\\\)

Es gilt

\( \quad a - b < 0 \)

\(\\\)

Demzufolge ist auch der Bruch

\( \quad \frac{ 7 \cdot (a - b)}{2}< 0 \)

\(\\\)

und damit dann

\( \quad d'(3) = D''(3) < 0 \)

\(\\\)

Nach 3 Stunden, also um 15:00 Uhr, ist der Füllmengenunterschied der beiden Tonnen maximal.

\(\\\)