2 Regentonnen
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
In der Aufgabe “gemeinsame Punkte der Graphen” haben wir die Funktionen
\( \quad u(x) = (x -3) \cdot \left(x^2 - a \cdot x - \frac{a}{2}\right) \)
\(\\\) und
\( \quad v(x) = (x -3) \cdot \left(x^2 - b \cdot x - \frac{b}{2}\right) \)
\(\\\)
definiert, die wir für \(f_{k_1}\) und \(f_{k_2}\) verwenden können.
Wir wählen
\( \quad \begin{array}{ r c l } f_{k_1} & = & u(x) \\[6pt] f_{k_2} & = & v(x) \\ \end{array} \)
\(\\\)
mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } k_1 & = & a \\[6pt] k_2 & = & b \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wir definieren die Differenzfunktion \(d(x)\) :
\(\\[2em]\)
Füllmengenunterschied
Der Füllmengenunterschied wird durch die Stammfunktion von \(d(x)\) beschrieben. Da die beiden Regentonnen zu Beginn der Beobachtung leer sind, ist \(c=0\) .
\( \quad D(x) = \displaystyle{\int} d(x) dx \)
\(\\[1em]\)
notwendige Bedingung
Für den maximalen Füllmengenunterschied gilt \(D'(x)=0\) . Da \(D'(x)=d(x)\) ist, erhalten wir also \(d(x)=0\) .
\(\\\)
Mit \(a=k_1\) und \(b=k_2\) sowie der Voraussetzung \(k_1< k_2\) ist \(a-b=0\) ausgeschlossen. Ferner liegt \(x=-\frac{1}{2}\) vor dem Beobachtungsbeginn. Zu überprüfen bleibt also nur \(x=3\).
\(\\[1em]\)
hinreichende Bedingung
Neben der notwendigen Bedingung muss für den maximalen Füllmengenunterschied gelten, dass \(D''(x)=d'(x)<0\) ist.
\(\\\)
Es gilt
\( \quad a - b < 0 \)
\(\\\)
Demzufolge ist auch der Bruch
\( \quad \frac{ 7 \cdot (a - b)}{2}< 0 \)
\(\\\)
und damit dann
\( \quad d'(3) = D''(3) < 0 \)
\(\\\)
Nach 3 Stunden, also um 15:00 Uhr, ist der Füllmengenunterschied der beiden Tonnen maximal.
\(\\\)