Funktion h


\(\\\)

Aufgabe 1 Maximum

Für die höchste Koffeinkonzentration berechnen wir den Hochpunkt von \(h\) .

notwendige Bedingung

Wir definieren

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\(\\\) Damit ein Extrempunkt vorliegt, muss gelten: \(h'(t)=0\)

Hier brauchen wir zunächst die Ableitung. Zu den Ableitungen kommen wir mit der Auswahl links neben dem Buchsymbol mit dem Werkzeug

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\(\\\) oder alternativ mit der Auswahl \(\textit{menu}\)

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\(\\\) oder kurz mit der Tastenkombination \(\textit{menu} \; \rightarrow \; 4 \; \rightarrow \; 1\)

\(\\\)

Wir definieren nun die 1. Ableitung und berechnen die Gleichung.

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\(\\[2em]\)

hinreichende Bedingung

Um zu überprüfen, welche Art von Extrempunkte wir an den Stelle \(t=45{,}5978\) haben, brauchen wir die 2. Ableitung und definieren

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\(\\\)

Wir setzen \(t=45{,}5978\) in die 2. Ableitung ein.

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\(\\\)

\(h2(45{,}5978)<0\) , also liegt bei \(t=45{,}5978\) ein Hochpunkt vor.

\(\\[2em]\)

Funktionswerte

Nun benötigen wir noch den \(y\)-Wert des Hochpunktes und bestimmen ihn mit

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\(\\\)
\(45{,}5978\) Minuten nach der Einnahme des koffeinhaltigen Getränks liegt eine maximale Koffeinkonzentration von \(0{,}008363\frac{mg}{ml}\) im Blut vor.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Graph zeichnen

Zum Zeichnen des Graphen kopieren wir den Funktionsterm

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\(\\\) und gehen in den Graphikbereich

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\(\\\) und fügen dort den Term ein. Dabei ändern wir die Variable \(t\) in \(x\) .

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\(\\\) Mit menu gehen wir in Fenster/Zoom und Fenstereinstellungen

\(\\\) my image

\(\\\) und passen den Zeichenbereich mit XMin, XMax, YMin und YMax folgendermaßen

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\(\\\) an.

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\(\\\)

Mit menu und Tabelle mit geteiltem Bildschirm

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\(\\\) blenden wir die Wertetabelle ein.

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\(\\\) Mit menu, Wertetabelle und Funktionseinstellungen bearbeiten

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\(\\\) ändern wir die Schrittweite auf 20.

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\(\\\)

und übertragen die Punkte im angegebenen Maßstab in unsere Zeichnung.

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\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 größte momentane Abnahmerate

Die größte momentane Abnahmerate liegt im Wendepunkt.

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\(\\\) Wir bestimmen diese, indem wir im Wendepunkt eine Tangente anlegen und über ein Steigungsdreieck, so gut es eben geht, das Gefälle ablesen. Auf der vorhergehenden Seiten bekommen wir

\( \quad m = -\frac{0{,}002}{90} = -0{,}000022 \)

\(\\\)

Das Gefälle beträgt \(0{,}000022 \; \frac{mg}{ml}\) pro Minute.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 4 maximale momentane Änderungsrate

Die maximale momentane Änderungsrate befindet sich in der Regel zwischen einem Tiefpunkt und einem Hochpunkt. Da wir bereits wissen, dass wir nur einen Hochpunkt haben, muss die größte momentane Änderungsrate links davon liegen. Denn rechts vom Hochpunkt ist der Graph der Funktion stets fallend. Wir überprüfen nun, ob wir dort noch einen Wendepunkt haben.

\(\\\)

Wendepunkt

Für den Wendepunkt gilt die

\(\\\)

notwendige Bedingung

\( \quad h''(t) = 0\)

\(\\\)

Wir berechnen \(t\) :

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\(\\\) Ein Wendepunkt ist nur rechts vom Hochpunkt möglich. Einen Wendepunkt links vom Hochpunkt können wir also ausschließen.

\(\\\)

momentane Änderungsrate

Die maximale momentane Änderungsrate muss also am Rand vorliegen. Infrage kommt nur der linke Rand der Funktion bei \(t=0\) . Wir berechnen die momentane Änderungsrate mit der ersten Ableitung:

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\(\\\)

Die maximale momentane Änderungsrate haben wir also direkt bei der Aufnahme des koffeinhaltigen Getränks mit \(0{,}0007 \; \frac{mg}{ml}\) pro Minute.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 5 Zeiträume

Wir bestimmen zunächst die Zeitpunkt, an denen eine Konzentration von \(0{,}007 \, \frac{mg}{ml}\) vorliegt.

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\(\\[2em]\)

Aufgabe 6 Fläche

Wir berechnen folgende Fläche

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\(\\\)

mit

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\(\\\)

Da \(a > 0\) sein muss, ist \(a = 96{,}3653\) .

\(\\[1em]\)

Aussage

Die Werte für \(t\) sind in Minuten und für \(h(t)\) in \(\frac{mg}{ml}\) angegeben. Daraus folgt, dass die Fläche in \(\frac{mg}{ml} \cdot min\) angegeben wird. Das ist aber nicht die Einheit für die Kaffeemenge. Diese würde in \(mg\) angegeben werden.

Also ist die Aussage falsch.

\(\\\)