HMF 8 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Nullstellen
\( \quad \begin{array}{ r c l } f_1(x) & = & x^2 + 1 \cdot (3 - 4x) + 1^2 \\[6pt] & = & x^2 + 3 - 4x + 1 \\[6pt] &= & x^2 - 4x + 4 \\ \end{array} \)
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Bei den Nullstellen gilt \( f_1(x) = 0 \)
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Für
\( \quad 0 = x^2 - 4x + 4 \)
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wenden wir die PQ-Formel an:
\( \quad \begin{array}{ r c l } x_{1,2} & = & - \frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[8pt] & = & - \frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-4} \\[8pt] & = & 2\pm \sqrt{4-4} \\[8pt] x & = & 2 \\ \end{array} \)
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Die einzige Nullstelle von \(f_1\) liegt bei \((2|0)\) .
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Tiefpunkt
\( \quad \begin{array}{ r c l } f_a(x) & = & x^2 + a \cdot (3 - 4x) + a^2 \\[6pt] f_a(x) & = & x^2 + 3a - 4ax + a^2 \\ \end{array} \)
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Für Extrempunkte gilt die notwendige Bedingung
\( \quad f_a'(x) = 0 \)
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Die 1. Ableitung ist
\( \quad f_a'(x) = 2x - 4a \)
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Wir setzen \(f_a'(x)\) in die notwendige Bedingung ein:
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 2x - 4a &= & 0 & | \; +4a \\[6pt] 2x & = & 4a & | \; :2 \\[6pt] x & = & 2a & \\ \end{array} \)
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Weiter gilt die hinreichende Bedingung
\( \quad f_a''(x) \not= 0 \)
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mit
\( \quad f_a''(x) = 2 \)
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Wir überprüfen unseren \(x\)-Wert mit der 2. Ableitung:
\( \quad f_a''(2a) = 2 > 0 \)
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Bei \(x=2a\) haben wir in der Funktionenschar einen Tiefpunkt.
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Um zu prüfen, ob der Punkt \(P\left(1|\frac{3}{4}\right)\) auf der Ortskurve der Tiefpunkte liegt, ermitteln wir für \(P\) den \(a\)-Wert und setzen \(x=2a\) und \(x=1\) gleich.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 2a & = & 1 & | \; :2 \\[6pt] a & = & \frac{1}{2} & \\ \end{array} \)
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Nun noch in \(f_a(x)\) eingesetzt:
\( \quad \begin{array}{ r c l } f_{\frac{1}{2}}(1) & = & 1^2 + \frac{1}{2} \cdot (3 - 4 \cdot 1) + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\[6pt] f_{\frac{1}{2}}(1) & = & 1+ \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\[6pt] f_{\frac{1}{2}}(1) & = & 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \\[6pt] f_{\frac{1}{2}}(1) & = & \frac{4}{4} - \frac{2}{4}+ \frac{1}{4} \\[6pt] f_{\frac{1}{2}}(1) & = & \frac{3}{4}\\ \end{array} \)
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Der Punkt \(P\left(1|\frac{3}{4}\right)\) ist also der Tiefpunkt des Graphen von \(f_{\frac{1}{2}}(x)\).
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