HMF 4 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Punkt am Rande der Grundfläche
Der Mittelpunkt der Grundfläche liegt \(10\) unter dem Mittelpunkt der Deckfläche und lautet \(M_B(8 | 5 | 0)\). Liegt Punkt \(P\) auf der Oberfläche einer Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M_B(8 | 5 | 0)\) und dem Radius \(r=10\) , so liegt Punkt \(P\) auch auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders. Denn \(P\) befindet sich ebenso wie die Grundfläche in der \(x_1x_2\)-Ebene.
Diese Kugelgleichung lautet
\( \quad K: (x_1 - 8)^2 + (x_2 - 5)^2 + (x_3 - 0)^2 = 25 \)
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Um nachzuweisen, dass Punkt \(P\) auf der Kugeloberfläche liegt, führen wir eine Punktprobe durch und setzen die Punktkoordinaten ein.
\( \quad \begin{array}{ r c l } (5 - 8)^2 + (1 - 5)^2 + (0 - 0)^2 & = & 25 \\[6pt] (- 3)^2 + (- 4)^2 & = & 25 \\[6pt] 9 + 16 & = & 25 \\[6pt] 25 & = & 25 \\ \end{array} \)
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Die Aussage ist wahr. Damit liegt Punkt \(P\) auf dem Rand der Grundfläche.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – größter und kleinster Abstand
Der Punkt \(S\) befindet sich \(10\) Einheiten oberhalb von Punkt \(P\) . Punkt \(T\) liegt auf der gegenüberliegenden Seite des Grundkreises nach oben auf die Deckfläche projiziert.
\(\\\) Wir erhalten Punkt \(S\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } \vec{OS} & = & \vec{OP} + \vec{PS} \\[8pt] \vec{OS} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 10 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[10pt] \vec{OS} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 1 \\ 10 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[12pt] & \Rightarrow &\displaystyle{S(5 | 1 | 10)} \\ \end{array} \)
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und Punkt \(T\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } \vec{OT} & = & \vec{OP} + \vec{PT} \\[6pt] \vec{OT} & = & \vec{OP} + 2 \cdot \vec{PM_B} + \vec{PS} \\[6pt] \vec{OT} & = & \vec{OP} + 2 \cdot \left(\vec{OM_B} - \vec{OP}\right) + \vec{PS} \\[8pt] \vec{OT} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + 2\cdot \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 8 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 10 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[10pt] \vec{OT} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + 2\cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 10 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[10pt] \vec{OT} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 5 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 6 \\ 8 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 10 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{OT} & = & \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 11 \\ 9 \\ 10 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[12pt] & \Rightarrow &\displaystyle{T(11 | 9 | 10)} \\ \end{array} \)
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