Stau an einem bestimmten Tag
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Änderungsrate ist Null
Es gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l c l c l c l } f(x) & = & 0 \\[6pt] 0 & = & x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4} \right)^2 \\ \end{array} \)
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Mit dem Nullprodukt ergibt sich
\( \quad x_1 = 0 \)
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und
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & 8 - 5x & | \, + 5x \\[5pt] 5x & = & 8 & | \, : 5 \\[5pt] x_2 & = & 1{,}6 \\ \end{array} \)
\(\\\)
und
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & \left(1 - \frac{x}{4} \right)^2 & \bigl| \, \sqrt{\dots} \\[6pt] 0 & = & 1 - \frac{x}{4} & \bigl| \, + \frac{x}{4} \\[6pt] \frac{x}{4} & = & 1 & \bigl| \, \cdot 4 \\[5pt] x_3 & = & 4 \\ \end{array} \)
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Es sind
\( \quad 1{,}6 \, h = 1 \, h + 0{,}6 \, h = 1 \, h + 0{,}6 \, h \cdot 60 \, \frac{min}{h} = 1 \, h \, 36 \, min \)
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Damit hat die momentane Änderungsrate um 6:00 Uhr, um 7:36 Uhr und um 10:00 Uhr den Wert Null.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Änderungsrate kleiner als Null
An der Stelle \(2\) ist die Änderungsrate negativ. Das bedeutet, dass die Staulänge um 8:00 Uhr abnimmt.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Stärkste Zunahme der Staulänge
Die stärkste Zunahme liegt vor bei dem Hochpunkt der Funktion \(f\).
\(\\[1em]\)
Notwendige Bedingung
Es gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l } f'(x) & = & 0 \\[15pt] f'(x) & = & -\frac{5}{4}x^3 + 9x^2 - 18x + 8 \\[8pt] 0 & = & -\frac{5}{4}x^3 + 9x^2 - 18x + 8 \\ \end{array} \)
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Mithilfe der Taschenrechnerfunktionen ergeben sich die Lösungen
\( \quad \begin{array}{ r c l } x_1 & \approx & 0{,}62 \\[5pt] x_2 & = & 4 \\[5pt] x_3 & \approx & 2{,}58 \\ \end{array} \)
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An diesen Stellen kann ein Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegen. Um zu klären, wo der nun der Hochpunkt ist, benötigen wir die hinreichende Bedingung.
\(\\[1em]\)
Hinreichende Bedingung
Es gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l c l c l l } f''(x) & \not= & 0 \\[15pt] f''(x) & = & -\frac{15}{4}x^2 + 18x - 18 \\[10pt] f''(0{,}62) & = & -\frac{15}{4} \cdot 0{,}62^2 + 18 \cdot 0{,}62 - 18 & = & -8{,}2815 & < & 0 & \quad \Rightarrow HP \\[10pt] f''(4) & = & -\frac{15}{4} \cdot 4^2 + 18 \cdot 4 - 18 & = & -6 & < & 0 & \quad \Rightarrow HP \\[10pt] f''(2{,}58) & = & -\frac{15}{4} \cdot 2{,}58^2 + 18 \cdot 2{,}58 - 18 & = & 3{,}4785 & > & 0 & \quad \Rightarrow TP \\ \end{array} \)
\(\\\)
Um festzustellen, welcher der beiden Hochpunkte die stärksten Zunahme hat, berechnen wir die Änderungsrate an den beiden Stellen.
\(\\[1em]\)
Funktionswert
\( \quad \begin{array}{ r c l c l c l l } f(0{,}62) & = & 2{,}17 \\[6pt] f(4) & = & 0 \\ \end{array} \)
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Nach
\( \quad 0{,}62 \, h = 0{,}62 \, h \cdot 60 \, \frac{min}{h} \approx 37 \, min \)
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also um 6:37 Uhr, nimmt die Staulänge am stärksten zu.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Zeitpunkt mit der längsten Staulänge
Dort wo der Graph von \(f\) von einem positiven \(y\)-Wert in einen negativen \(y\)-Wert wechselt, also bei der Nullstelle \(x = 1{,}6\) um 7:36 Uhr, ist die Staulänge am größten. Denn bis dorthin nimmt die Staulänge zu. Erst danach nimmt die Staulänge ab.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 5 – Funktion s
Die Staulänge wird über den gesamte Zeitraum mit dem Intervall \([0;4]\) mit der Stammfunktion von \(f\) berechnet mit
\( \quad F(x) \, = \, \displaystyle{\int} f(x) dx + C \)
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Da der Stau zum Zeitpunkt 6:00 Uhr sich erst anfängt zu bilden ist \(C = 0\). Wir erhalten damit
\( \quad F(x) \, = \, -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4} x^4 - 3x^3 + 4x^2 \, = \, s(x) \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 6 – Zunahme und durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge
Zunahme der Staulänge
Die Zunahme der Staulänge von 6:00 bis 8:00 Uhr entspricht der Staulänge um 8:00 Uhr, da der Stau ja bei Null beginnt.
\( \quad \begin{array}{ r c l } F(4) & = & \displaystyle{\int}_0^2 \left(-\tfrac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x\right) dx \\[10pt] & = & -\frac{1}{16} \cdot 2^5 + \frac{3}{4} \cdot 2^4 - 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^2 \\[6pt] & = & 2 \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge
Der Durchschnitts- oder Mittelwert \(\overline{x}\) wird mit dem Mitelwert des Integrals berechnet. Allgemein gilt
\( \quad \overline{x} \, = \, \frac{1}{b-a} \displaystyle{\int}_a^b f(x) dx \)
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Für die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge gilt dann
\( \quad \overline{x} \, = \, \frac{1}{2-0} \displaystyle{\int}_0^2 \left(-\tfrac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x\right) dx \, = \, 1 \)
\(\\[1em]\)