HMF 1 - Lösung

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\(\\\)

Aufgabe 1 – Nullstellen und Symmetrie

Nullstellen

Für die Nullstellenberechnung gilt \(f(x)=0\).

\( \quad \begin{array}{ r c l } x \cdot \left(x^2 - 1\right) & = & 0 \\ \end{array} \)

\(\\\) Nach dem Nullprodukt gilt

\( \begin{array}{ r c r l } x_1 & = & 0 \\[12pt] x^2 - 1 & = & 0 & | +1 \\[5pt] x^2 & = & 1 & | \sqrt{\cdots} \\[5pt] x_2 & = & 1 \\[5pt] x_3 & = & -1 \\ \end{array} \)

\(\\\) Es existieren also 3 Nullstellen.

\(\\\)

Symmetrie

Der ganzrationale Term

\( \quad x^3 - x \)

enthält nur \(x\)-Terme mit ungeraden Exponenten. Folglich muss \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 – Steigung 11

\( \quad \begin{array}{ r c l l } &\\[2pt] f'(x) & = & 11 \\[12pt] f'(x) & = & 3x^2 - 1 \\[12pt] 3x^2 - 1 & = & \; 11 & | +1 \\[5pt] 3x^2 & = & \; 12 & | :3 \\[6pt] x^2 & = & \; \;4 & \bigl| \sqrt{\dots} \\[5pt] x_1 & = & \; \;2 & \\[5pt] x_2 & = & -2 & \\ \end{array} \)

\(\\[1em]\)