Hesse'sche Normalenform
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu berechnen, wird die Hesse’sche Normalenform verwendet. Die Hesse’sche Normalenform basiert darauf, dass der Normalenvektor der Ebene normiert wird. So sind dann vergleichbare Abstandswerte möglich. Umgesetzt wird dies mit dem Einheitsvektor des Normalenvektors.
\(\\[1em]\)
Einheitsvektor
Der Einheitsvektor eines Vektors \(\overrightarrow{a}\) ist der Vektor, der in die gleiche Richtung wie \(\overrightarrow{a}\) verläuft und die Länge 1 hat. Der zu \(\overrightarrow{a}\) gehörige Einheitsvektor wird notiert als \(\overrightarrow{a^0}\).
Bezogen auf den Normalenvektor einer Ebene stellt sich das wie folgt dar.
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist nun das Vielfache (oder ein Bruchteil) des Einheitsvektors des Normalenvektors.
In dieser Darstellung ist der Abstand=3. Der Einheitsvektor wird berechnet mit
\( \quad \overrightarrow{n^0} \; = \; \frac{1}{\bigl|\overrightarrow{n}\bigr|} \cdot \overrightarrow{n} \)
\(\\[2em]\)
Abstandsberechnung mit der Hesse’schen Normalenform
Um den Abstand eines Punktes \(A(3|7|6)\) von einer Ebene in Normalenform mit
\( \quad E: \; \, \left[\overrightarrow{x}- \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =0 \)
\(\\\)
zu berechnen, wird die Normalenform von der Form
\( \quad NF: \; \, \left( \overrightarrow{x}-\overrightarrow{p} \right) \cdot \overrightarrow{n} = 0 \)
\(\\\)
in die Hesse’sche Normalenform von der Form
\( \quad HNF: \; \, \left( \overrightarrow{x}-\overrightarrow{p} \right) \cdot \overrightarrow{n^0} = 0 \)
\(\\\)
umgewandelt. Um \(\overrightarrow{n^0}\) zu ermitteln, benötigen den Betrag von dem Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\).
\( \quad \bigl|\overrightarrow{n}\bigr| = \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3 \)
\(\\\)
Wir erhalten
\( \quad \overrightarrow{n^0} \; = \; \dfrac{1}{\bigl|\overrightarrow{n}\bigr|} \cdot \overrightarrow{n} \, = \, \dfrac{1}{3} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
\(\\\)
Der Bruch kann der Hesse’schen Normalenform vorangestellt werden.
\( \quad \dfrac{1}{3} \cdot \left[\overrightarrow{x}- \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =0 \)
\(\\\)
Um den Abstand zum Punkt \(A\) zu berechnen, wird dieser nun für \(\overrightarrow{x}\) eingesetzt und nur der linke Teil der Gleichung verwendet. Um einen positiven Abstand zu bekommen, wird das Ganze in einen Betrag gesetzt.
\( \quad \begin{array}{r c l} Abst(A;E) & = & \dfrac{1}{3} \cdot \left| \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 7 \\ 6 \end{array} \right) \end{smallmatrix}- \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right| \\[8pt] & = & \dfrac{1}{3} \cdot \left| \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right| \\[8pt] & = & \frac{1}{3} \cdot \bigl|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 2 \bigr| \\[6pt] & = & \frac{1}{3} \cdot 15 \\[6pt] & = & 5 \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Hesse’sche Normalenform in Koordinatenform
Die Hesse’sche Normalenform kann auch in der Koordinatenform notiert werden. Die Koordinatenform mit
\( \quad a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 = d \)
\(\\\)
wird entsprechend der Hesse’schen Normalenform
\( \quad HNF: \; \, \left( \overrightarrow{x}-\overrightarrow{p} \right) \cdot \overrightarrow{n^0} = 0 \)
\(\\\)
umgeformt. Rechts muss eine Null stehen. Wir erhalten
\( \quad a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 - d = 0 \)
\(\\\)
Wie zuvor können wir den Bruch für die Hesse’sche Normalenform voranstellen.
\( \quad HNF: \; \, \frac{1}{\bigl|\overrightarrow{n}\bigr|} \cdot \bigl(a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 - d\bigr) = 0 \)
\(\\\)
Mit dem Normalenvektor
\( \quad \overrightarrow{n} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} a \\ b \\ c \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)
\(\\\)
können wir auch schreiben
\( \quad HNF: \; \, \dfrac{a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 - d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = 0 \)
\(\\\)
Die gleiche Aufgabe wie zuvor mit \(A(3|7|6)\) hätte jetzt die Ebenengleichung
\( \quad E: \; \, x_1 + 2 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 = 14 \)
\(\\\)
und die Hesse’sche Normalenform
\( \quad HNF: \; \, \dfrac{x_1 + 2 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 - 14}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = 0 \)
\(\\\)
mit dem Punkt \(A\) eingesetzt in die Abstandsformel erhalten wir
\( \quad \begin{array}{r c l} Abst(A;E) & = & \dfrac{\bigl|3 + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 6 - 14\bigr|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} \\[8pt] & = & \dfrac{\bigl|15\bigr|}{\sqrt{9}} \\[8pt] & = & \dfrac{15}{3} \\[8pt] & = & 5 \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)